Koordinatentransformation - Differentialregeln

[icarus2]

Kann mir jemand folgende Regel erklären?
$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial\hat{x}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial\hat{x}} + \frac{\partial\hat{y}}{\partial x} \frac{\partial}{\partial\hat{y}}$
$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial\hat{x}}{\partial y} \frac{\partial}{\partial\hat{x}} + \frac{\partial\hat{y}}{\partial y} \frac{\partial}{\partial\hat{y}}$

Es geht darum, dass man zwei 2D-Koordinatensysteme hat $(x,y)$ und $(\hat{x},\hat{y})$ und zwischen diesen beiden transformieren möchte. Ich habe solche Regeln bereits mehrfach gesehen aber nie verstanden weshalb diese funktionieren.

[Namenloser324]

Es handelt sich dabei einfach um die mehrdimensionale Kettenregel

Betrachte f(x,y) und f(x(x_tilde, y_tilde), y(x_tilde, y_tilde) und vergleiche die totalen Ableitungen.

[fuzziker]

Du hast irgendeinen Ausdruck \operatorname f in den Koordinaten $(x,y)$ und einen Ausdruck \hat{\operatorname f} in den Koordinaten $(\hat x,\hat y)$:
\operatorname f(x,y) = \hat{\operatorname f}(\hat {\operatorname x}(x,y),\hat {\operatorname y}(x,y))=(\hat{\operatorname f} \circ \operatorname \varphi)(x,y)\text{ mit }\operatorname\varphi(x,y)=(\hat {\operatorname x}(x,y), \hat{\operatorname y}(x,y))

Jetzt möchtest du die Ableitung von \operatorname f mithilfe derer von \hat{\operatorname f} bestimmen, hierzu nimmt man die mehrdimensionale Kettenregel mit der Jacobimatrix:

J_{\operatorname f}(x,y) = J_{\hat{\operatorname f}}(\operatorname\varphi(x,y))\cdot J_\varphi(x,y)\\ \left(\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}, \frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}\right)(x,y)= \left(\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}, \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\right)(\operatorname\varphi(x,y))\cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x} & \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}\\ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y} & \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y} \end{pmatrix}(x,y)\\ \left(\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}(x,y), \frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}(x,y)\right)= \left( \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right), \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right) \right) \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}(x,y)\\ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}(x,y) \end{pmatrix}\\ \left(\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}(x,y), \frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}(x,y)\right)= \left( \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)\cdot\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}(x,y) \+ \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)\cdot\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}(x,y), \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)\cdot\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}(x,y) + \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)\cdot \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}(x,y) \right)

also

\frac{\partial{\operatorname f}}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right) \+ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right)\\ \frac{\partial{\operatorname f}}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right) + \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}(x,y)\frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial y}\left(\operatorname{\hat y}(x,y)\right)

Der Rest ist unsaubere Physikerschreibweise. Wie im Wikipedia-Artikel zur eindimensionalen Kettenregel beschrieben schreibt man \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial x}\left(\operatorname{\hat x}(x,y)\right) als \frac{\partial{\hat{\operatorname f}}}{\partial {\hat x}}(x,y). Lässt man dann noch die Funktionsparameter weg und nimmt die Funktion runter erhält man

\frac{\partial}{\partial x}{\operatorname f}=\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}{\hat{\operatorname f}} \+ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}{\hat{\operatorname f}}\\ \frac{\partial}{\partial y}{\operatorname f}=\frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial{\hat y}}{\hat{\operatorname f}} + \frac{\partial{\hat{\operatorname y}}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial{\hat y}}{\hat{\operatorname f}}

Das beschreibt ja genau, was man bei der Koordinatentransformation macht. Man nimmt den Ausdruck, substiuiert $x$ mit $\hat x$ und $y$ mit $\hat y$ (also macht aus $f$ den Ausdruck $\hat f$) und ersetzt dann $\frac{\partial}{\partial x}$ mit

\frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial x}\frac{\partial}{\partial{\hat x}} \+ \frac{\partial{\hat{\operatorname x}}}{\partial y}\frac{\partial}{\partial{\hat x}}

. Deine Formel ist also nur eine noch unsauberere Darstellung der obigen unsauberen Physikerschreibweise.