Lineares Gleichungssystem

Bashar

Er folgt aus dem Adjunktensatz, ist der bekannt? $A\cdot A^{Ad} = \det A\cdot I$ .

In der Form noch nie gesehen.

Ich schreib grad mit nem Kommilitonen, der die Musterlösung kennt.

Er meinte Man müsse das ganze spaltenweise zeigen.
Ich verstehe nicht ganz was er mir geschrieben hat, aber evt kann es mir jmd erklären:

Sei j in {1, ..., n}:

Betrachte A * ( y I_j (Einheitsmatrix, j-te Spalte )) = (x a1 ... aj (durchgestrichen oder anderweitig markiert?) ... an)

-> det (A * y I_j) = det(x a1 ...)
-> det A * det y I_j = det (x*a1 ...)
-> 1 * y_j = irgendwas aus Z

-> Lösung exisitiert und ist eindeutig

Bashar

Nicht schlecht. Das $I_j$ ist die Einheitsmatrix ohne die j-te Spalte. Und das $a_j$ ist in der Tat durchgestrichen.

Jester

Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

Wow. OK. Und wie kommt man auf sowas?

Im Moment kommt mir das wie eine typische "hast du schon gesehen oder keine Chance"-Aufgabe vor

Bashar

Jester schrieb:

Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

Stimmt, die vergess ich immer. Im Prinzip hat der Kommilitone die Cramersche Regel neu erfunden. (Bis auf den Teil mit der Produktformel für Determinanten. Das ist der nichttriviale Teil hier.)

Jester

Bashar schrieb:

Jester schrieb:

Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

Stimmt, die vergess ich immer. Im Prinzip hat der Kommilitone die Cramersche Regel neu erfunden. (Bis auf den Teil mit der Produktformel für Determinanten. Das ist der nichttriviale Teil hier.)

Was meinst Du damit genau? Das ganze folgt doch direkt aus der Cramerschen Regel, oder? Die Determinante einer ganzzahligen Matrix ist ja per Definition ganzzahlig (Summer über alle Permutationen ...).

Bashar

Jester schrieb:

Bashar schrieb:

Jester schrieb:

Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

Stimmt, die vergess ich immer. Im Prinzip hat der Kommilitone die Cramersche Regel neu erfunden. (Bis auf den Teil mit der Produktformel für Determinanten. Das ist der nichttriviale Teil hier.)

Was meinst Du damit genau? Das ganze folgt doch direkt aus der Cramerschen Regel, oder?

Kommt drauf an, was für dich die Cramersche Regel ist. Für mich ist es $y\_i = \frac{\det A\_i}{\det A}$ , wobei $A_i$ die Matrix ist, die man bekommt, wenn man die i-te Spalte in A durch x ersetzt. Damit hätte man direkt argumentieren können, dass die Lösung existiert und eindeutig ist. Das hat der Kommilitone aber nicht gemacht, sondern das ganze kleinschrittig aufgeschrieben... und auch nicht genau so, sondern so dass ich vermute, dass er die Regel wirklich "neu erfunden" hat.
An einer Stelle hat er aber $\det(AB) = \det A\cdot \det B$ benutzt, was meines Wissens nicht trivial ist. Jedenfalls hat man uns damals den Beweis vorenthalten und nur für Matrizen über Körpern vorgeführt.

Kann mir jemand den Ansatz mal Schrittweise erklären?

Ich verstehe es immer noch nciht so ganz. Weder wie es funktioniert , noch wie man darauf kommt?
Auch den Zusammenhang mit der Cramerschen Regel sehe ich nicht sofort

Bashar

pkloper schrieb:

Kann mir jemand den Ansatz mal Schrittweise erklären?

Hast du konkrete Fragen?

BTW seh ich grade, dass ich überlesen hatte, dass der Kommilitone ja nur die Musterlösung abgeschrieben hat. Die Lobesworte erübrigen sich damit.

Auch den Zusammenhang mit der Cramerschen Regel sehe ich nicht sofort

War die Cramersche Regel denn Vorlesungsstoff? Dann benutz die doch!