Hilfe für komplexes Integral

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich
$\int_0^\pi e^{-(R e^{i x})^2} \,\mathrm{d}x$
direkt ausrechnen kann ohne den Umweg über das Euler–Poisson Integral zu gehen? Oder geht das nicht?

Jodocus

Hm, vielleicht könnte man es so machen:
Sei \gamma(x) := Re^{ix} \Rightarrow \gamma'(x) = iRe^{ix} = i\gamma(x), x \in [0, \pi] ein parametrisierter Weg. Aus der Definition des Konturintegrals folgt dann:
$\int\limits\_0^{\pi} e^{-(Re^{ix})^2} dx = \int\limits\_{\gamma} \frac{e^{-z^2}}{iz} dz$
Die Cauchy-Integralformel lautet: $f(a) = \int\limits_\gamma \frac{1}{2\pi i}\frac{f(z)}{z-a} dz$
Mit $a = 0$ und $f(0) = e^{-0^2} = 1$ würde dann $\int\limits_0^{\pi} e^{-(Re^{ix})^2} dx = 2\pi$ folgen.

Edit: Ich sehe gerade WolframAlpha sagt $\pi$ . Hm, gerade keine Ahnung, was falsch ist.

Edit2: Dummer Fehler, die Cauchy-Integralformel gilt natürlich nur für um Sigularitäten geschlossene Konturintegrale: $\oint\limits_\gamma \frac{1}{2\pi i}\frac{f(z)}{z-a}dz = f(a)$

Jodocus

So geht es aber:
Sei \gamma(x)=Re^{ix}, x \in [0, 2\pi] ein geschlossener Weg, dann gilt mit $f(z)=\frac{e^{{-z}^2}}{z}$ aufgrund der Cauchy-Integralformel (siehe erste Antwort): $\oint\limits_\gamma \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = 2\pi$
Seien \gamma_1(x)=Re^{ix}, x \in [0, \pi] und \gamma_2(x)=Re^{ix}, x \in [\pi, 2\pi] die beiden Halbkreise um den Ursprung, dann gilt insbesondere: $\oint\limits_\gamma \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = \int\limits_{\gamma\_1} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz + \int\limits\_{\gamma_2} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz$ .
Aus dem Integralsatz von Cauchy folgt die Wegunabhängigkeit der Integrale und damit gilt, da f antisymmetrisch ist: $\int\limits_{\gamma\_1} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = \int\limits\_{\gamma_2} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz$ , also folgt $2\pi = \oint\limits_\gamma \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = 2 \int\limits_{\gamma\_1} \frac{1}{i}\frac{f(z)}{z}dz = 2\int\limits\_0^{\pi} e^{-(Re^{ix})^2} dx \Rightarrow \int\limits_0^{\pi} e^{-(Re^{ix})^2} dx = \pi$