grenzwert beweisen

gegeben sei diese funktion:

f: \mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}, (x, n) \mapsto \left\{\begin{matrix} x & \textup{ wenn n = 0} \\ \sqrt{f(x, n - 1)} & \textup{ sonst} \end{matrix}\right.

(wie kann ich machen dass die spalten linksbuendig und nicht zentriert sind?

gesucht ist eine funktion g mit folgendem axiom:
$\forall x \in \mathbb{R}_{>0}: g(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(x, n)$

intuitiv wuerde ich sagen, die funktion ist $g(x) = 1$ aber wie kann man das zeigen?

Bashar

Ist nicht $f(x,n) = x^{1/2^n}$ ? Davon den Limes sollte man hinkriegen.

(wie kann ich machen dass die spalten linksbuendig und nicht zentriert sind?

Benutze die cases-Umgebung anstatt die Fallunterscheidung als Matrix zu bauen:

$f: \mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{N}_0 \rightarrow \mathbb{R}, (x, n) \mapsto \begin{cases} x & \text{ wenn }n = 0\\ \sqrt{f(x, n - 1)} & \text{ sonst} \end{cases}$

Columbo

Was ist $\mathbb{R}_{>0}$ ? $\{ x ~|~ x \in \mathbb{R}, x > 0\}$ ?

Dann ist Bashars Beobachtung natürlich richtig.

Arcoth schrieb:

Was ist $\mathbb{R}_{>0}$ ? $\{ x ~|~ x \in \mathbb{R}, x > 0\}$ ?

$\mathbb R_{>0} = \{ x\in\mathbb R \mid x>0 \}$ um es mengentheoretisch und \LaTeX-technisch korrekt aufzuschreiben.

Columbo

mid not | schrieb:

Arcoth schrieb:

Was ist $\mathbb{R}_{>0}$ ? $\{ x ~|~ x \in \mathbb{R}, x > 0\}$ ?

$\mathbb R_{>0} = \{ x\in\mathbb R \mid x>0 \}$ um es mengentheoretisch und \LaTeX-technisch korrekt aufzuschreiben.

Ah, gut zu wissen.

Bashar schrieb:

Ist nicht $f(x,n) = x^{1/2^n}$ ?

doch, selbstverstaendlich. herrjemine... wieso faellt es mir so schwer, wurzeln als potenzen anzusehen?
danke!
und danke auch fuer den tipp bei der fallunterscheidung.