Frage zu surjektivitär bei einer Matrix

Hallo,

ich hätte eine Frage zur Surjektivität bei einer Matrix. Wir haben definiert:

f ist surjektiv, wenn die Spalten der Matrix A den Raum R(hoch)m erzeugen.

und folgendes bsp. gemacht:

(1 2 3) * x = lin. Abbildung von R (hoch)3 in R hoch (2)
(4 5 6)

Lösung:
Die Vektoren sind lin. unabh., bilden also eine Basis von R², insbesondere erzeugen sie R² -> surjektiv

Das war schon alles was wir dazu gemacht haben.

wann etwas injektiv ist, ist mir klar, nur nicht wie ich sehe, dass etwas surjektiv ist.

In Wikipedia hab ich folgendes gefunden:
"Eine lineare Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn die Abbildungsmatrix A vollen Zeilenrang hat:{rang}(A) = m"

heisst das f ist dann surjektiv, wenn die Dimension gleich der Anzahl der Zeilen ist?

Wenn für eine Matrix A die Bilder
A\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},A\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\dots,A\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}
ein Erzeugendensystem bilden, ist deine Matrix doch sicher surjektiv, oder? (Die Umkehrung gilt ebenfalls.)

Wenn du mit dem i-ten Einheitsvektor multiplizierst, bekommst du aber genau die i-te Spalte der Matrix. Also ist deine Matrix surjektiv, wenn ihre Spalten ein Erzeugendensystem bilden, das ist deine Aussage.

Was das mit deiner "Lösung" zu tun hat, kann ich auch nur raten. Vielleicht so: Die ersten zwei Spalten sind lin. unab, also bilden sie eine Basis, folglich müssen alle drei Spalten ebenfalls ein Erzeugendensystem bilden.

Dazu ist eine ganze Reihe von Aussagen äquivalent, so auch dein Zitat von Wikipedia.