Koordinatenvektor - Lösung so richtig?

vayacontoz

Hallo hab hier ne Aufgabe zur Berechnung des Koordinatenvektors und würde gerne wissen obs so richtig ist.

Aufgabenstelung:

P3={p(x)=a+bx+cx²+dx³|a,b,c,d Element R}

Geben Sie den Koordinatenvektor von u(x) bzgl. der geg. Basis an.
u(x)=3x³+4x²-2x+1

Die folgenden Polynome bilden eine Basis vom P3(das müssen Sie nicht zeigen:
b0(x)=1
b1(x)= x-1
b2(x)=(x-1)²
b3(x)=(x-1)³

hab dann eine Matrix aufgestellt die so aussieht:

1 0 0 0|3
-1 1 0 0|4
 1-2 1 0|-2
-1-1-3 1|1

wenn ich das dann auflöse komme ich auf den Koordinatenvektor:

3
7
9
38

die 38 zum Schluss macht mich stutzig. Stimmt das so??

Danke für eure Hilfe

Muss in der Matrix der zweite Eintrag der letzten Zeile nicht +3 (jedenfalls nicht -1) sein?

Bashar

Wie hast du die Matrix aufgestellt?

vayacontoz

@mathenull

also ich denke es stimmt so

es heisst ja

a+bx+cx²+dx³

also zuerst eine zahl, dann ein x, dann ein x² und dann ein x³

wenn ich (x-1)³ ausmultipliziere bekomme ich:

x³-3x²-x-1 raus.

Wenn ich das dann in die obrige Form bringe, also zuerst mit der Zahl anfange, dann dass x, anschließend das x² und schließlich das x³ komme ich auf

-1 -1 -3 1

bin mir aber nicht 100% sicher

@bashar

b0(x) ist ja nur 1
also hab ich als erste Zeile

1 0 0 0

für b1(x) ist x-1
also

-1 1 0 0

usw.

vayacontoz schrieb:

wenn ich (x-1)³ ausmultipliziere bekomme ich:

x³-3x²-x-1 raus.

Nee, guck mal: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-1)^3

vayacontoz

stimmt... wenn ich es dann so durchrechne, dann komme ich auf

3
7
9
52

dass schaut ja noch komischer aus

habs mit der matrix

1  0  0  0|3
-1  1  0  0|4
 1 -2  1  0|-2
-1 -3 -3  1|1

berechnet

Finnegan

vayacontoz schrieb:

habs mit der matrix

1  0  0  0|3
-1  1  0  0|4
 1 -2  1  0|-2
-1 -3 -3  1|1

Nicht ganz, wenn ich mich nicht selbst verzettelt habe, dann ist

$(x-1)^3 = -1 + 3x - 3x^2 + x^3$

und somit müsste die letzte Zeile deiner Matrix

-1  3 -3  1

lauten. In diesem Fall bekomme ich für die b3-Koordinate 10 raus (ohe Gewähr).

Allerdings (weiterer Fehler):

Dein Lösungsvektor hat wenn mich nicht alles täuscht die falsche Reihenfolge.
Schau dir deine erste Zeile an:

1 0 0 0 | 3

Diese Zeile ist die Basis für die Konstante Dimension, auf der rechten Lösungsseite hast du allerdings die Koordinate für die kubische Dimension eingetragen (siehe Def. von u(x)). Nach meinem Verständnis sollte das Ganze also so aussehen:

\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 4 \\ -1 & 3 & -3 & 1 & 3 \end{array}\right]

Du kannst das ja mal ausrechnen und bei Bedarf mit Wolfram Alpha prüfen, ob du dich nicht verrechnet hast. Das hier sollte dir die richtige Lösung geben:

solve {{1, 0, 0, 0},{-1, 1, 0, 0},{1,-2, 1, 0},{-1, 3, -3, 1}}.{x, y, z, w} = { 1, -2, 4, 3 }

Gruss,
Finnegan

vayacontoz

ok vielen dank