Differentialgleichung invariante Menge

So, eine Woche krank gewesen und schon hab ich keine Ahnung mehr, was in der Vorlesung besprochen wurde.

Ich habe die Übungsaufgabe:

Weisen Sie nach, dass der Abschluss einer invarianten Menge
M invariant (unter dem Fluss phi't)ist.

Alles was ich gefunden habe, ist die Definition von invarinater Menge:

Eine Menge heißt invariant, wenn
phi't(M) = M
gilt.

Nur leider habe ich keine Ahnung, was ich damit anstellen könnte.
Ich hoffe, jemand erbarmt sich und erklärt mir die Aufgabe.

Jodocus

So wie ich das sehe, ist die Behauptung, die zu zeigen sollst:

$\Phi\_t(M) = M \Rightarrow \Phi\_t(\overline M) = \overline M$

Hierbei ist $\overline M$ der Abschluss der Menge M in irgendeiner Topologie.

Genau,

so wit verstehe ich das, aber ich erkenne keinen Anhaltspunkt, wie ich Aussagen über die Menge auf den Abschluss übertragen kann.

Wenn ich es mir recht überlege, ist der kritische Bereich der Rand der Menge M, da diese ja für den Abschluss zumindest teilweise fehlt.

Ist das nicht für jede stetige Funktion, die auf $\overline M$ definiert ist, wahr? Da der Fluss stetig global definiert ist, muss es für ihn also gelten.

Würde ich jetzt auch annehmen.
Habe das hier gefinden:

Aus der Stetigkeit der phi't ergibt sich sofort:
M invariant => M invariant ;
und ebenso für positive oder negative Invarianz. Daher genügt es meist, abgeschlossene
invariante Teilmengen zu betrachten.

Aber was soll ich jetzt auf mein Übungsblatt schreiben???
Ich muss doch IRGENDWAS zeigen können

griefer schrieb:

Aber was soll ich jetzt auf mein Übungsblatt schreiben???
Ich muss doch IRGENDWAS zeigen können

Ganz trivial aus der Stetigkeit ergibt sich nur die Inklusion $\Phi(\overline M)\subset\overline M$ ( https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit_(Topologie)#Abschluss ).

Für die andere Richtung sei $x\in\overline M$ . Es gibt dann* eine Folge x\_1,x\_2,\dots in $M$ , mit $\lim\limits_{n\to\infty}x_i=x$ . Aus der Stetigkeit folgt $\lim\limits_{n\to\infty}\Phi(x_i)=\Phi(x)$ , also $x\in\Phi(\overline M)$ .

* Disclaimer: Ich nahm an, dass die Menge ein https://en.wikipedia.org/wiki/First-countable_space ist, ansonsten musst du mit ε-Bällen argumentieren

Das hat aber mit DGLs, also was ihr letzte Woche zu behandelt haben scheint, nur am Rande was zu tun.

Bashar

Für Invarianz genügt bereits Inklusion, also $\Phi_t(M)\subseteq M$ für alle $t\in\mathbb{R}$ . Gleichheit wäre eine ziemlich unnatürliche Forderung, das würde ja implizieren, dass M nur invariant sein kann, wenn jede Trajektorie, die den Rand von M schneidet, komplett im Rand enthalten ist.

stegiteit schrieb:

Für die andere Richtung sei $x\in\overline M$ . Es gibt dann* eine Folge x\_1,x\_2,\dots in $M$ , mit $\lim\limits_{n\to\infty}x_i=x$ . Aus der Stetigkeit folgt $\lim\limits_{n\to\infty}\Phi(x_i)=\Phi(x)$ , also $x\in\Phi(\overline M)$ .

Ich verstehe das Argument nicht wirklich. Wieso folgt daraus $x\in\Phi(\overline M)$ ? Du hast eigentlich nur $\Phi(x)\in\overline{\Phi(\overline M)}$ gezeigt, daraus kann man $\Phi(x)\in \overline M$ ableiten, aber das wussten wir ja schon. Eine Aussage über x fällt da soweit ich sehe nicht ab.

Ich glaube du meinst so: Sei $y\in\overline M$ , $(y_n)$ eine Folge in $M$ gegen $y$ . Wenn wir $\Phi(M) = M$ voraussetzen, gibt es eine Folge $(x_n)$ in $M$ mit $\Phi(x\_n) = y\_n$ , so dass wegen der Stetigkeit $y = \Phi(x) \in \Phi(\overline M)$ folgt.

* Disclaimer: Ich nahm an, dass die Menge ein https://en.wikipedia.org/wiki/First-countable_space ist, ansonsten musst du mit ε-Bällen argumentieren

Metrische Räume sind doch erstabzählbar