Grenzwert

Wie berechne ich den Grenzwert

\displaystyle\lim_{n -> \infty} \sqrt[n]{x^n+y^n}
?

SeppJ

Ich nehme mal stillschweigend an, dass x und y real und größer 0 sind (und n eine ganze Zahl). Denn wenn wir in der Wurzel einen Teil- (oder Gesamt-)Ausdruck mit wechselndem Vorzeichen haben, bekommen wir keinen Grenzwert. Weiterhin ist die n-te Wurzel hinreichend gutartig, dass wir den inneren Ausdruck alleine betrachten können: x^n + y^n geht für n gegen unendlich offensichtlich wie max(x,y)^n oder wie 2*x^n, falls x und y gleich sind. Nehme o.B.d.A an, dass x >= y. Dann geht der Gesamtausdruck wie die n-te Wurzel von x^n oder 2*x^n. Und das ist x (weil die n-te Wurzel von 2 für n gegen unendlich gleich 1 ist). Folglich ist das Gesamtergebnis ohne die Annahme x >= y einfach max(x,y).

Und Bashar verhaut mich gleich verbal, weil ich das wie ein Physiker gelöst habe und nirgends meine Annahmen über die "hinreichende Gutartigkeit" bewiesen habe, bzw. dafür, dass ich diesen Begriff überhaupt benutze

edit: Meine Bedingung, dass x und y größer 0 sein müssen, war zu streng. Wenn die größere Zahl (o.B.d.A sei das x) größer als 1 ist, dann reicht auch y > -1, damit das Argument funktioniert, denn y^n geht dann gegen 0.

SeppJ schrieb:

edit: Meine Bedingung, dass x und y größer 0 sein müssen, war zu streng. Wenn die größere Zahl (o.B.d.A sei das x) größer als 1 ist, dann reicht auch y > -1, damit das Argument funktioniert, denn y^n geht dann gegen 0.

Wenn |x|>|y|, dann darf y beliebig negativ sein (auch -2 oder so).

Ich hätte das jetzt so aufgeschrieben: Sei x≥0 und y=λx mit |λ|≤1. Dann \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^n+(\lambda y)^n}=\sqrt[n]{1+\lambda^n}\sqrt[n]{x^n} wobei 1=\lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{1-\left|\lambda\right|}_{>0\text{ und }<1})^{\frac 1n}\le\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+\lambda^n}\le \lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{1+\left|\lambda\right|}_{>1 \text{ und }<2})^{\frac 1n}=1

SeppJ schrieb:

real

reell.