Frage zu Grenzwerten

Hallo, ich habe eine Frage bei der Berechnung folgender Grenzwerte (n gegen unendlich):
$\lim \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^n\left ( \frac{1}{\sqrt{j}} \right )$
und
$\lim \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\sum_{j=1}^n\left ( \sqrt{j} \right )$

Die Reihe 1 durch Wurzel divergiert doch, wie soll man da einen Grenzwert bestimmen? Und ähnlich ist es doch beim zweiten?

Bashar

Da stehen keine Reihen, die divergieren könnten. Ansonsten solltest du deine Frage etwas konkreter artikulieren.

Aber das hier:
$\sum_{j=1}^n\left ( \frac{1}{\sqrt{j}} \right )$
Als Reihe divergiert das doch, oder nicht?
Wie muss ich vorgehen um die Grenzwerte zu berechnen?

limes schrieb:

Aber das hier:
$\sum_{j=1}^n\left ( \frac{1}{\sqrt{j}} \right )$
Als Reihe divergiert das doch, oder nicht?

Ja, das divergiert.

Aber umgekehrt strebt 1/sqrt(n) gegen Null.

Miteinander multipliziert hebt sich das auf.

Einfaches Beispiel:
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac 1{n^2}\sum\limits_{j=0}^n j=\frac 12$

streber schrieb:

limes schrieb:

Aber das hier:
$\sum_{j=1}^n\left ( \frac{1}{\sqrt{j}} \right )$
Als Reihe divergiert das doch, oder nicht?

Ja, das divergiert.

Aber umgekehrt strebt 1/sqrt(n) gegen Null.

Miteinander multipliziert hebt sich das auf.

???

Seperat kann man die beiden Folgen (1/sqrt(n) und die Reihe) nicht betrachten, da eine gegen Null die andere gegen Unendlich konvergiert/divergiert.

Jodocus

Namenloser324 schrieb:

streber schrieb:

limes schrieb:

Aber das hier:
$\sum_{j=1}^n\left ( \frac{1}{\sqrt{j}} \right )$
Als Reihe divergiert das doch, oder nicht?

Ja, das divergiert.

Aber umgekehrt strebt 1/sqrt(n) gegen Null.

Miteinander multipliziert hebt sich das auf.

???

Seperat kann man die beiden Folgen (1/sqrt(n) und die Reihe) nicht betrachten, da eine gegen Null die andere gegen Unendlich konvergiert/divergiert.

Das ist nur übertragen gemeint. Was er vmtl. meint ist, dass wenn einer der Faktoren divergiert und der andere verschwindet, hat das Produkt zumindest eine Chance zu existieren, was man dann nachprüfen kann, z.B. Partialsumme bilden, multiplizieren und Grenzwert bilden.

Computer sagt 2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%20n%20to%20infinity%201%2Fsqrt%28n%29%20*%20sum%20for%20j%3D1%20to%20n%20%281%2Fsqrt%28j%29%29&dataset=

volkard

Ja, klar.

Es ging drum, daß man sie nicht getrennt betrachten kann, weil die Zwischenergebnisse Quatsch werden.
Sagen wir mal, x geht gegen unendlich, was ist dann?
a) x * 1/x
b) x^2 * 1/x
c) x * 1/x^2

Wenn wir es getrennt betrachen kommt raus:
a) ∞ * 0
b) ∞ * 0
c) ∞ * 0
Und wenn man im Mathebuch nachschaut, was ∞*0 ergibt, wird man nicht fündig. Die einen schweigen, die anderen sagen, daß man das nicht rechnen darf, nur helfen tut einem keiner tun.

Wenn wir es vor(!) dem Einseten von unendlich umformen kommt als Zwischenergebnis raus:
a) x * 1/x = 1
b) x^2 * 1/x = x
c) x * 1/x^2 = 1/x

Und wenn man dann erst unendlich einsetzt kommt raus:
a) 1
b) ∞
c) 0

Das hat auch ein wenig Sinn.

So machen auch bei den Summenzeichen. Da gips bestimmt Regeln, wie man was reinziehen oder rausziehen darf.

strebers Aussage war aber noch viel schwächer, er hat gesagt, daß ein divergierendes Ebbes multipliziert mit einem gegen Null strebenden Ebbes nicht zwangsläufig divergiert. Kommt eben drauf an, ob die divergierende Kraft oder die nullierende Kraft stärker ist.

Ach, muss noch nachtragen, was wird
d) (2.8765*x^17+566646372) * (1/x^17)
?
Na, 2.8765. ∞*0 kann *jeden* Wert annehmen, ist also absolut unbrauchbar, wenn man nicht mitführt, wir die Formel vorher war.

Umfürmung wäre z.B.:

2.8765*x^17+566646372
---------------------
        x^17
=
2.8765*x^17   566646372
----------- + ---------
   x^17         x^17
=
         566646372
2.8765 + ---------
           x^17

Um mal eine Lösung nachzusetzen:
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{j}} \le \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\int\limits_{x=1}^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(2\sqrt{n}-1\right)=2$
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{j=1}^n \frac{1}{\sqrt{j}} \ge \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\int\limits_{x=0}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}2\sqrt{n-1}=2$

Das andere geht analog.