Gleichmäßige Konvergenz

Kann mir jemand die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

$f_n(x) = x^n * e^{-n*x}$

beweisen?

Ich komme stets auf Terme die (ln(x) - x) beinhalten und kann mit denen nichts anfangen.

Naja, wenn man zwei Dinge weiß, nämlich
(1) $x \leq e^x$ für alle x und
(2) $x^{1/\log(x)} = e$ ,
dann ist das recht simpel: Setze $N_{\varepsilon} := \frac{\log\varepsilon}{\log \frac{x}{e^x}}$ . Dann gilt für alle $n \geq N_{\varepsilon}$ : $\left(\frac{x}{e^x}\right)^n \leq \left(\left(\frac{x}{e^x}\right)^{1/\log(x/e^x)}\right)^{\log\varepsilon} = \varepsilon$ .

Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass das natürlich nur für nichtnegative x gilt.

Jodocus

Was du hier zeigst, ist aber nur punktweise Konvergenz, nicht gleichmäßige.
Die Funktionenfolge konvergiert punktweise für $\forall x \in \mathbb{R} : x \ge 0$ gegen $f_\infty(x)=0$ .
Sie konvergiert auf dem selben Bereich sogar gleichmäßig, denn
$|x^n\mathrm{e}^{-nx}|\le|e^{-n}|\lt\epsilon\ \ \ \ \ \forall x \ge 0$
Die erste Ungleichung kann man leicht per Induktion zeigen.

Gerade der erste teil ist für mich interessant:

$|x^n e^{-nx}| \leq |e^{-nx}|$

Für x >= 1 ist mir das klar, aber für x zwischen 0 und 1?

Jodocus schrieb:

Was du hier zeigst, ist aber nur punktweise Konvergenz, nicht gleichmäßige.

Wie kommst du darauf? Ich habe $N_{\varepsilon}$ unabhängig von x gewählt. Deshalb habe ich gleichmäßige Konvergenz gezeigt.

Oh sorry, ich sollte mir meine eigenen Antworten wohl mal durchlesen

Lässt sich aber trotzdem ganz leicht beheben, indem man $N_{\varepsilon} := -\log\varepsilon \geq \frac{\log\varepsilon}{\log \frac{x}{e^x}}$ definiert.

Um mal den Vierfachpost zu komplettieren:

shisha schrieb:

Gerade der erste teil ist für mich interessant:

$|x^n e^{-nx}| \leq |e^{-nx}|$

Für x >= 1 ist mir das klar, aber für x zwischen 0 und 1?

Da ist ein x zu viel: $|x^n e^{-nx}| \leq |e^{-n}|$ .
Zuerst mal kann man die Betragsstriche weglassen, weil alle Terme positiv sind. Für n = 1 steht da e*x <= e^x. Das ist wahr, weil e*x die Tangente von e^x für x = 1 ist und e^x konvex ist. Insbesondere bedeutet das x * e^(-x) <= 1/e, was direkt den Induktionsschritt beweist:
$x^{n+1}e^{-(n+1)x} = (x^n e^{-nx}) \cdot (x e^{-x}) \leq e^{-n} e^{-1} = e^{-(n+1)}.$

Jodocus

m.e. schrieb:

Lässt sich aber trotzdem ganz leicht beheben, indem man $N_{\varepsilon} := -\log\varepsilon \geq \frac{\log\varepsilon}{\log \frac{x}{e^x}}$ definiert.

Das läuft ja gerade auf meine Abschätzung hinaus.
Ansonsten stimmt natürlich deine Induktion, allerdings hätte das shisha ruhig mal selber rechnen können.

@ shisha: Gleichmäßige Konvergenz auf der Standardnorm zu beweisen, ist nicht schwierig. Meine Idee kam daher, dass ich einfach mal geschaut habe, ob und wo $f_n$ ein lokales Maximum hat und ob die Stelle $x_{max}$ unabhängig von n ist. Das ist hier bei $x=1$ der Fall, also kann man getrost $f_n(1)$ als Abschätzung benützen. In diesem Fall war ich sogar glücklich, denn das Maximum ist das einzige in den positiven reellen Zahlen, sodass die Funktion überall da auch gleichmäßig konvergiert, wo die Abschätzung greift.