Eine Formel um Pi zu berechnen

SeppJ

proofplease schrieb:

Christoph-C++ schrieb:

Um die ersten 2 Nachkommastellen zu erhalten, müsste man von n=1 bis n=1000 rechnen.
Gruß

Wieso reichen die ersten 1000?

Weil das eine monotone und konvergente Folge ist^*, kann man das durch direktes Ausprobieren beweisen. Es reicht sogar ein maximales n von 600.

^*: Alle Summanden haben das gleiche Vorzeichen, Multiplikation mit 6 ist streng monoton, Wurzelziehen ist streng monoton.

Ich bin auch auf eine Formel gekommen um Pi zu berechnen sie lautet:
3*10^1 + 1*10^(-1) + 4*10^(-2) + 1*10^(-3) + 5*10^(-4) + 9*10^(-5) + ...
Die Formel geht noch ein bisschen so weiter aber schon mit dieser kleinen Rechnerei kann man pi auf 6 stellen genau angeben.
1000 n das ich nicht lache, ich bin viel genialer.
Als selbsternanntes Mathegenie hab ich mich damit mal an die Internationale Mathematische Union gewandt und mich selber für die Fieldsmedaille nominiert. Die IMU hat aber noch nicht geantwortet. Sobald sie es tut werde ich es euch wissen lassen.

Also bis bald,
Mathegenie

Jodocus

SeppJ schrieb:

proofplease schrieb:

Christoph-C++ schrieb:

Um die ersten 2 Nachkommastellen zu erhalten, müsste man von n=1 bis n=1000 rechnen.
Gruß

Wieso reichen die ersten 1000?

Weil das eine monotone und konvergente Folge ist^*, kann man das durch direktes Ausprobieren beweisen. Es reicht sogar ein maximales n von 600.

^*: Alle Summanden haben das gleiche Vorzeichen, Multiplikation mit 6 ist streng monoton, Wurzelziehen ist streng monoton.

Du bist immernoch um einen Faktor 3 zu groß
Es sind genau 203 Schritte nötig, um mindestens 2 Nachkommastellen exakt zu sein.

Wie man das rausfindet? Integralvergleichskriterium (hier sehr einfach, da wie bereits gesagt monoton und streng positiv):
\int\limits\_N^\infty\frac{1}{x^2}dx \le \sum\limits\_{k=N}^\infty \frac{1}{k^2} \le \frac{\pi^2}{6} - 1.64 \Leftrightarrow \left[\frac{-1}{x}\right]_N^\infty \le \frac{\pi^2}{6} - 1.64 \Leftrightarrow N \ge \dfrac{1}{\frac{\pi^2}{6}-1.64}\approx 202.67\ldots
Und tatsächlich:
$\sum\limits_{k=1}^{203}\frac{1}{k^2} \approx 1.6400200718225\ldots$

SeppJ

Nach n > 203 (genauer übrigens n > 191, wenn man auch noch die nächsten Stellen betrachtet) magst du dich dem Ergebnis zwar auf weniger als 0.005 genähert haben, was man als Mathematiker durchaus als "auf zwei Nachkommastellen genau" bezeichnen kann, aber erst bei n > 600 hat man wirklich ein Ergebnis, welches mit 3.14... los geht, was der umgangssprachlichen Bezeichnung von "auf zwei Stellen genau" entspricht.

Jodocus

SeppJ schrieb:

Nach n > 203 (genauer übrigens n > 191, wenn man auch noch die nächsten Stellen betrachtet) magst du dich dem Ergebnis zwar auf weniger als 0.005 genähert haben, was man als Mathematiker durchaus als "auf zwei Nachkommastellen genau" bezeichnen kann, aber erst bei n > 600 hat man wirklich ein Ergebnis, welches mit 3.14... los geht, was der umgangssprachlichen Bezeichnung von "auf zwei Stellen genau" entspricht.

Oh, stimmt, ich dachte, es geht nur darum, den Grenzwert der Reihe abzuschätzen und nicht $\pi$ .

Um also $\pi$ auf die Genauigkeit zu bekommen, geht man wie folgt vor (da es den Unreg ja interessierte, wie man es formal machen kann): Die Abweichung des Ergebnisses der Summation von $\pi$ soll kleiner sein als $\pi - 3.14$ , also $\epsilon \le \frac{\pi^2 - 3.14^2}{6}$ .
Mit dem Integralvergleich folgt dann $N \ge \frac{6}{\pi^2-3.14^2} \approx 599.73605\ldots$ , wie SeppJ schon richtig sagte.
Nur mal aus Neugier: wie hast du denn die 600 gefunden? Binäre Suche-artig abgeschätzt?

SeppJ

Jodocus schrieb:

Mit dem Integralvergleich folgt dann $N \ge \frac{6}{\pi^2-3.14^2} \approx 599.73605\ldots$ , wie SeppJ schon richtig sagte.
Nur mal aus Neugier: wie hast du denn die 600 gefunden? Binäre Suche-artig abgeschätzt?

Du denkst viel zu kompliziert. Einfach die ersten 2000 Werte berechnet und geguckt, ab wann am Anfang 3.14 steht. Ebenso die 191, für das n ab dem man 0.005 oder näher am Ergebnis ist :p .

Gregor

@Christoph-C++: Es gibt jede Menge Reihen, die gegen Pi konvergieren. Und wenn man Pi über so eine Reihe berechnen möchte, dann möchte man natürlich, dass das Ergebnis möglichst schnell konvergiert. Bei Dir fallen die Reihenglieder mit 1/n² ab. Du hast dadurch zwar eine konvergente Reihe, aber eigentlich konvergiert die relativ langsam. Was man IMHO eigentlich haben möchte, sind Reihenglieder, die exponentiell abfallen. So etwas bietet zum Beispiel die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, die jenseits davon wohl auch noch jede Menge andere Möglichkeiten bietet, Pi zu berechnen. Anscheinend kann man damit sogar gezielt eine beliebige Stelle von Pi berechnen, ohne die vorherigen Stellen zu berechnen. ...sollte ich mir mal genauer angucken.

SeppJ

Gregor schrieb:

Anscheinend kann man damit sogar gezielt eine beliebige Stelle von Pi berechnen, ohne die vorherigen Stellen zu berechnen. ...sollte ich mir mal genauer angucken.

Cool, die kannte ich noch gar nicht .

Wer hätte gedacht, dass die letzte Stelle "Zebra" ist?

Jodocus schrieb:

da es den Unreg ja interessierte, wie man es formal machen kann

Mich interessierte eher, wie man die Konvergenz ausrechnen kann, wenn man pi nicht schon vorher kennt (was macht es sonst für einen Sinn, pi auszurechnen). Pi könnte ja 3.0000000 sein und nur weil sich nach 2.99999 die erste Nachkommastelle lange nicht geändert hat, heisst es nicht, dass sie es immer bleibt. Und in pi sollen ja alle endlichen Ziffernfolgen einmal vorkommen, also auch 00000...000, was Probleme verursacht. Also ist es vermutlich erst a posteriori möglich zu sagen, wie viele Stellen sich nicht mehr ändern, nämlich wenn die nachfolgende Ziffer keine 9 ist und die Genauigkeit keinen "Überlauf" zulässt (dazu kann man dann den Integralvergleich von Jodocus benutzen). Vielleicht gibt es auch irgendeinen abstrusen Satz, der etwas über die Länge der Folgen von 0er in Abhängigkeit der Position in pi aussagt, dann könnte man schon vorher sagen, wie viel man ausrechnen muss.

Daneben war ich auch auf die Art der Antworten gespannt :p

volkard

Christoph-C++ schrieb:

Hallo,
heute bin ich (arbeite in allem ein wenig) auf eine Formel gekommen, mit welcher man Pi berechnen kann.
…
Dann kommt als Ergebnis heraus:
sqrt(6*Σ(n=1 -> unendlich;1/n^2)) = pi

Die hab ich schonmal gesehen, eulert mir im Kopf rum?
http://de.wikipedia.org/wiki/Basler_Problem
Bist leider 300 Jahre zu spät, um es als Entdeckung zu veröffentlichen.
Mist.

Freut mich zu sehen, daß Du forschen tust. Tun viel zu wenige.

SeppJ

proofplease schrieb:

Jodocus schrieb:

da es den Unreg ja interessierte, wie man es formal machen kann

Mich interessierte eher, wie man die Konvergenz ausrechnen kann, wenn man pi nicht schon vorher kennt (was macht es sonst für einen Sinn, pi auszurechnen). Pi könnte ja 3.0000000 sein und nur weil sich nach 2.99999 die erste Nachkommastelle lange nicht geändert hat, heisst es nicht, dass sie es immer bleibt.

Bei diesen Reihen hat niemand festgestellt, dass sie zufällig so ungefähr gegen 3.14... gehen und dann gesagt "Oh, das ist wohl Pi!". Da ist bewiesen, dass sie gegen Pi konvergieren, ausgehend von der Definition (und nicht des Zahlenwerts!) von Pi, dass Pi das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises ist.

Aus dieser Definition kann man allerlei geometrisch motivierte Reihenentwicklungen herleiten (z.B. macht wohl jeder in der Schule die Entwicklung nach Archimedes, bei der man ein Vieleck mit immer mehr Ecken konstruiert). Und dann kann man zeigen, dass diese den gleichen Grenzwert haben, wie andere Reihen, denen man nicht so direkt ansieht, dass sie etwas mit Kreisen zu tun haben.

Der Beweis für die hier benutzte Reihe $\zeta(2)$ ist nicht trivial und kann im Rahmen dieses Forums wohl nicht dargestellt werden. Beziehungsweise er ist trivial, wenn man die Reihenentwicklung des Sinus akzeptiert, sowie allerlei Umformungen, die man mit unendlichen Reihen machen darf. Aber so wie ich dich einschätze, würde das die Frage aufwerfen, wie man diese beweist. Daher bloß das Stichwort für den Anfang: Baseler Problem.

Christoph-C++

Ja, das wusste ich. Ich musste es nur umformen.

Christoph-C++

Also Basiswissen 7. Klasse

SeppJ schrieb:

Bei diesen Reihen hat niemand festgestellt, dass sie zufällig so ungefähr gegen 3.14... gehen und dann gesagt "Oh, das ist wohl Pi!". Da ist bewiesen, dass sie gegen Pi konvergieren, ausgehend von der Definition (und nicht des Zahlenwerts!) von Pi, dass Pi das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang eines Kreises ist.

Du kennst Pi (erste positive Nullstelle des Sinus), aber nicht den Zahlenwert.
Dein "Beweis" war, sich den Zahlenwert von Pi anzuschauen und festzustellen, wann die Reihe mit diesem übereinstimmt. Ich wollte aber eine Formel "für Stelle n musst du maximal 100*n^3 Elemente ausrechnen".

SeppJ schrieb:

Der Beweis für die hier benutzte Reihe $\zeta(2)$ ist nicht trivial und kann im Rahmen dieses Forums wohl nicht dargestellt werden.

Das bisschen Parseval ist nicht sehr lang und geht auch kürzer wie in Wikipedia dargestellt.

SeppJ schrieb:

Baseler Problem.

Bitte richtig schreiben.

volkard

proofplease schrieb:

SeppJ schrieb:

Baseler Problem.

Bitte richtig schreiben.

SeppJs Schreibweise ist die richtige, sorry.

Man geht (endlich, endlich) wieder davon ab, für jeden verfickten noch so unbedeutenden Landflecken eigene sprachliche Privatformen zu haben und schreibt zum Bleistift für Bewohner der Insel Rügen wieder "Rügener" statt "Rüganer".
Die allermeisten dieser Formen kamen eh erst in den 70-er Jahren auf als Nachmacher und Wichtigtuer und plötzlich haben alle Verlautbarungen des Magistrats die neue Form und alle örtlichen Vereine spielen mit. Übrigens gegen die schlichten rügener Bürger, die sich weiterhin als Rügener fühlen.

Das war mal so eine Welle, die jetzt erst ungefähr ihren Höhepunkt hatte. Die Gegenwelle wird leider ein paar der ganz alten Sonderformen mitwegspülen. Man wird also "Baseler" schreiben und "Baseler" zu sprechen gelehrt bekommen in der Schule. Fertig. Manche Akademiker werden normalerweise aus Versehen noch "Basler" sagen, fürchte ich. Ich mach's ab jetzt bis zu meinem Abnippeln zu Ehren Eulers, das (bald) offizielle 'e' spreche ich nicht.

Klar werden die Hannoverer ihren Sonderstatus lange behalten, weil man sonst beim Sprechen leicht stolpert, besonders, wenn man besoffen ist. Und die Kasseler/Kassler/Kasselaner behalten es noch ein Weilchen als Zugezogen/Salzfleisch/Echt.

Ist eh schon viel zu kompliziert…
England-Deutschland
Engländer-Deutschländer

München-Münchner
Bremen-Bremer
Ach, das ist ja nur das Basler-Problem sprachlich. Das haben sauviele.

Als Leute gips das mit den ganzen -assen, -inen, - iner, -aner, -ter, die Pest ist ja noch viel schlimmer, weil man sich nicht traut, jemanden falsch zu benennen, und damit seine Persönlichkeitsrechte anzukratzen. Helau.

SeppJ

volkard schrieb:

Und die Kasseler/Kassler/Kasselaner behalten es noch ein Weilchen als Zugezogen/Salzfleisch/Echt.

Ach, ich war so stolz, als ich mit ca. 15 Jahren endlich auf den Trichter kam, dass das Salzfleisch wohl nach Kassel benannt ist. Und jetzt gucke ich bei dieser Gelegenheit mal bei Wikipedia nach und da erfahre ich, dass das gar nicht mit Kassel zu tun hat^*!
Vielen Dank, verwirrende, lokale Sonderformen! Selbst wenn man sie erkennt, stimmen sie nicht einmal. Als nächstes erfahr' ich noch, dass der Amerikaner nicht aus Amerika kommt

^*: Die Wortherkunft ist wohl unbekannt.

Bashar

volkard schrieb:

Man geht (endlich, endlich) wieder davon ab, für jeden verfickten noch so unbedeutenden Landflecken eigene sprachliche Privatformen zu haben und schreibt zum Bleistift für Bewohner der Insel Rügen wieder "Rügener" statt "Rüganer".

citation needed? Wer ist "man"?

Ohne mich jetzt näher mit genau dieser Thematik beschäftigt zu haben, gehe ich davon aus, dass das momentane Betonen regionaler Besonderheiten einschließlich der zunehmenden Akzeptanz von Dialekten eher dazu führt, dass solche "Privat"-Formen nicht untergehen und sich im Einzelfall eher auch überregional verbreiten.

Engländer-Deutschländer

Wer will sich schon als Würstchen bezeichnen.

robot

Gregor schrieb:

...So etwas bietet zum Beispiel die Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, die jenseits davon wohl auch noch jede Menge andere Möglichkeiten bietet, Pi zu berechnen. Anscheinend kann man damit sogar gezielt eine beliebige Stelle von Pi berechnen, ohne die vorherigen Stellen zu berechnen. ...sollte ich mir mal genauer angucken.

Wow - einzelne Stellen von Pi gezielt (im Hexadezimalsystem) berechnen?! Das ist echt cool.
Hätte vorher nicht gedacht, dass das überhaupt möglich ist (ohne vorige Stellen zu berechnen).

Zudem kommt, dass die Formel ziemlich sexy und sauber aussieht, ohne 'hässliche', krumme, lange Zahlen wie manch andere Pi-Formel.

Vielleicht sollten die Kinder in Zukunft doch - gleich von Anfang an - mit einem Zahlensystem rechnen lernen, dessen Basis (2^n, z.B. n = 4) ist...

volkard

Bashar schrieb:

volkard schrieb:

Man geht (endlich, endlich) wieder davon ab, für jeden verfickten noch so unbedeutenden Landflecken eigene sprachliche Privatformen zu haben und schreibt zum Bleistift für Bewohner der Insel Rügen wieder "Rügener" statt "Rüganer".

citation needed? Wer ist "man"?

http://www.spiegel.de/kultur/zwiebelfisch/zwiebelfisch-wie-heisst-der-buergermeister-von-wesel-a-297117.html

[quote="Bashar"]Ohne mich jetzt näher mit genau dieser Thematik beschäftigt zu haben, gehe ich davon aus, dass das momentane Betonen regionaler Besonderheiten einschließlich der zunehmenden Akzeptanz von Dialekten eher dazu führt, dass solche "Privat"-Formen nicht untergehen und sich im Einzelfall eher auch überregional verbreiten.[quote]
Möglicherweise zusammen mit dem wegpacken der Privatformen in die Dialekt-Schublade, weg von Geschäftsbriefen, Behördendeutsch und Deutscharbeiten.

ps: Rügen ist besonders schwer wegen des Rüganers, der hat wöchenlich allen Rügenern gesagt, daß sie Zeitungen sind.
http://www.der-rueganer.im-web.de/