Metrik

Bloops

Hallo,

angenommen ich habe 2 Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ mit jeweils zwei zugehörigen Metriken $d\_X(x\_1,x_2)$ und $d\_Y(y\_1,y_2)$ .

Gibt es einen Satz (oder kann man zeigen), dass für die Mannigfaltigkeit $Z=X\times Y$ , welche durch das kartesischen Produkt gebildet wird, $d\_Z(x\_1,x\_2,y\_1,y\_2):=\sqrt{d\_X(x\_1,x\_2)^2 + d\_Y(y\_1,y_2)^2}$ ebenfalls eine Metrik ist? Oder vielleicht gilt das auch gar nicht, dann wäre ein Gegenbeispiel super

Bitte für "Dummies" antworten, bin auf dem Gebiet nicht so sattelfest... Freue mich auch über weiterführende Links.

C14

Ja, das gilt.
Etwas allgemeiner:
Seien $(X\_i, d\_i) \: i=1..n$ metrische Räume, dann ist das kartesische Produkt $X = \prod_{i=1}^n X_i$ mit $d(x,y) := \left( \sum_{i=1}^n d\_i(x\_i,y_i)^p \right)^{1/p}$ auch ein metrischer Raum.

Symmetrie und positive Definitheit ist trivial zu zeigen.
Für die Dreiecksungleichung benutzt man die Dreiecksungleichung der Metriken und die Minkowski-Ungleichung (siehe z.B. http://www.mathepedia.de/Minkowskische_Ungleichung.aspx)

Bloops schrieb:

Gibt es einen Satz (oder kann man zeigen), dass für die Mannigfaltigkeit $Z=X\times Y$ , welche durch das kartesischen Produkt gebildet wird, $d\_Z(x\_1,x\_2,y\_1,y\_2):=\sqrt{d\_X(x\_1,x\_2)^2 + d\_Y(y\_1,y_2)^2}$ ebenfalls eine Metrik ist?

Du musst nur die Axiome der Metrik nachprüfen:

wohldefiniert: Die Wurzel ist definiert, da die Metriken positiv sind.
positiv-definit: d(x,y)≥0: erfüllt, Wurzeln sind immer positiv
symmetrisch: d(x,y)=d(y,x): erfüllt, da d_X und d_Y Normen und damit symmetrisch sind.
Dreiecksungleichung: d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z): (ich schreibe ( $d(x)=\sqrt{d\_1(x\_1)^2+d\_2(x\_2)^2}$ )

\begin{align} (d(x,y)+d(y,z))^2&=\left(\sqrt{d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_2(x\_2,y\_2)^2}+\sqrt{d\_1(y\_1,z\_1)^2+d\_2(y\_2,z\_2)^2}\right)^2\\&= d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_2(x\_2,y\_2)^2 + d\_1(y\_1,z\_1)^2+d\_2(y\_2,z\_2)^2 \+ \underbrace{2\sqrt{d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_2(x\_2,y\_2)^2}\sqrt{d\_1(y\_1,z\_1)^2+d\_2(y\_2,z\_2)^2}}_{\geq 0}\\ &\stackrel{\text{(1)}}\geq \sqrt{d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_1(y\_1,z\_1)^2}^2 + \sqrt{d\_2(x\_2,y\_2)^2 + d\_2(y\_2,z\_2)^2}^2\\&\stackrel{(2)}\geq d\_1(x\_1,z\_1)^2+d\_2(x\_2,z\_2)^2\\&=d(x,y)^2 \end{align}

Ungleichung (1) ist ein impliziter Beweis der Minkowski-Ungleichung und (2) folgt aus den Eigenschaften der Metriken.

Jodocus

Wie rechtfertigst du Ungleichung (2), genauer meine ich z.B. d\_1(x\_1, z\_1)^2 \stackrel{\text{?}}\le d\_1(x\_1, y\_1)^2+d\_1(y\_1, z_1)^2?
Die Dreiecksungleichung garantiert dir nach meinem Ermessen nur d\_1(x\_1, z\_1)^2\le d\_1(x\_1, y\_1)^2+\underbrace{2d\_1(x\_1, y\_1)d\_1(y\_1, z\_1)}_{\ge 0} + d\_1(y\_1, z_1)^2.