Zusammenhang Lineares Gleichungssystem - Poisson-PDE
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Kann mir jemand, vielleicht anhand eines einfachen Beispiels, den Zusammenhang zwischen der Lösung eines linearen Gleichungssystems und dem Lösen der Poisson-Gleichung , welche meines Erachtens nach ja eine PDE ist, erklären?
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Was soll das für ein Zusammenhang sein? Der klassische analytische Ansatz zum Lösen der Poisson-Gleichung, sofern durch entweder Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen bestimmt, läuft über Green'sche Funktionen und die Greenschen Identitäten, also etwas erweiterter Satz von Gauß.
\begin{align} \Delta y(\vec x) = g(\vec x)\\ y(\vec x) = \frac{1}{4\pi}\left(\int\limits\_V g(\vec{x}')G(\vec x, \vec x')d^n x' - \oint\limits\_{\partial V} y(\vec{x}')\frac{\partial G(\vec x, \vec{x}')}{\partial n'}da' \right) \end{align}
Konkret z.B. für Dirichlet-RBs (und entsprechender Green'scher Funktion G):Wobei da die Normalen-Ableitung von G steht.
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Auch sonst sehe ich keinen Zusammenhang im Lösen von LGS und DGLS (ansonsten wäre letzteres ja trivial einfach, besonders für PDGLn, für die es allgemein keine leichten Patentrezepte gibt), zumindest wenn man es analytisch angehen will.
Im Falle von linearen gewöhnlichen DGLn mit parameterunabh. Parametern kannst du das DGL-System durch einen exp-Ansatz in ein Diagonalisierungs-Problem verwandeln, worin man für die Suche nach den Eigenvektoren auch ein LGS lösen muss.
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Wenn du die Poisson Gleichung räumlich mit beispielsweise Finiten Differenzen diskretisierst, dann entsteht ein lineares Gleichungssystem, dessen Ergebnis dann an bestimmten Punkten im Raum die Lösung repräsentiert. Vielleicht kannst du ein bisschen mehr Kontext geben.