Wahrscheinlichkeiten Unterschied Frechet-Mittel und Arithmetisches?

[otze]

Hi, folgendes problem:

Ich habe k Multinomialverteilungen über N zustände gegeben mit Wahrscheinlichkeiten $p\_i^{(j)} > 0, \sum\_i^N p_i^{(j)}=1$.
Diese Verteilungen liegen auf einer Manigfaltigkeit $M=\left\{ p \mid p \in \mathbb{R}^N, p\_i > 0, \sum\_i p_i=1 \right\}$ mit natürlicher Metrik induziert durch die Fischer-Informartionsmatrix $d: M \times M \rightarrow \mathbb{R}: d(p,q)=\arccos(\sum_{i=1}^N \sqrt{p\_i q\_i})$.

Wenn ich die Verteilungen $p^{(j)}$ als Punkte auf der Mannigfaltigkeit auffasse, ist das einzig sinnvolle Mittel das Frechet-Mittel:
$\hat{p} = \arg \min\_q \sum\_{j=1}^k d(p^{(j)},q)$, weil dieses unabhängig von der Parametrisierung der Mannigfaltigkeit ist. Andererseits kann ich die Wahrscheinlichkeiten auch als bedingte Verteilungen interpretieren:
$p(i|j)=p_i^{(j)}$ und kann die Verteilungen mit dem sample-mean mitteln $p(i)= \frac 1 k \sum\_j^k p\_i^{(j)}$. Dieses Mittel ist konsistent damit, aus jeder der k Verteilungen samples zu ziehen und dann über die Gesamtmenge der samples $p(i)$ als maximum likelihood estimate zu schätzen.

Die beiden Mittel sind unterschiedlich. Was ist also der Bedeutungsunterschied zwischen dem Frechet-Mittel und dem Arithmetischen für Verteilungen?