4. Frage zu formaler Lösung (Minimierung)

Frage zu formaler Lösung (Minimierung)

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    Hallo, folgende einfache Aufgabe:
    ab=52−(a+b)ab = 52 - (a+b)
    Unter der Bedingung:
    a+b=mina+b=\min
    Meine Lösung wäre es zu sagen: Man sieht der Formal an, dass a=b sein muss, dann kann man einfach die Gleichung quadratisch lösen (a = b = 6.28).
    Aber wie kommt man formal darauf, dass a = b sein muss?

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  • Mod

    Minimierer schrieb:

    Meine Lösung wäre es zu sagen: Man sieht der Formal an, dass a=b sein muss

    Wie kommst du da drauf? Ich sehe das der Gleichung nicht an. Ich würde sogar sagen, es ist krass falsch, da es viele Gegenbeispiele gibt. Tatsächlich ist laut meiner Rechnung das Optimum bei limb→−1b\lim_{b\to -1}b mit dem entsprechenden Wert für a.
    Wie komme ich da drauf? Gleichung nach a (oder b) auflösen, dann in den Ausdruck a+ba+b einsetzen. Man erhält einen quadratischen Ausdruck (nach meiner Rechnung ist das 52+b21+b\frac{52+b^2}{1+b}, aber das ist eben schnell im Kopf* gemacht, daher ohne Gewähr). Davon sucht man das Minimum. Dieses befindet sich neben der Definitionslücke bei b=−1b=-1.

    Wenn man sich auf a,b > 0 beschränkt, kommt als Minimum tatsächlich a=b=6.28 heraus, weil das eben das Minimum des obigen Ausdrucks für positive b ist und man, wenn man dieses Ergebnis in den Ausdruck für a einsetzt, ebenfalls 6.28 erhält.

    *: Lies: Auf Papier, ohne Computerunterstützung :p .

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    Du hast Recht, dass a,b > 0 sein sollen habe ich vergessen zu schreiben.
    Dein Vorgehen macht Sinn, jetzt komme ich auch "formal" auf a = b. Danke!

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  • Mod

    Minimierer schrieb:

    Du hast Recht, dass a,b > 0 sein sollen habe ich vergessen zu schreiben.
    Dein Vorgehen macht Sinn, jetzt komme ich auch "formal" auf a = b. Danke!

    Stimmt. Mit dieser Bedingung kann man das auch formal zeigen.

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  • B

    SeppJ schrieb:

    Dieses befindet sich neben der Definitionslücke bei b=−1b=-1.

    Da befindet sich kein Minimum. Das Problem ist unbeschränkt.

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  • Mod

    Bashar schrieb:

    SeppJ schrieb:

    Dieses befindet sich neben der Definitionslücke bei b=−1b=-1.

    Da befindet sich kein Minimum. Das Problem ist unbeschränkt.

    Ja. Wie man so einen Fall eben ausdrückt. Ist lange her, dass ich so ein Problem korrekt beschreiben musste 🙂

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  • ?

    Stimmt auch, b = -1 kann kein Minimum sein:
    ab=52−(a+b)→a=52−b1+bab=52-(a+b) \rightarrow a = \frac{52-b}{1+b}
    Für b -> -1 würde "a" ja gegen +unendlich gehen, damit wäre a+b mit Sicherheit nicht minimal 😃
    a+b=min=ab−52=(52−b1+b)b−52a+b=\min=ab-52=\left(\frac{52-b}{1+b}\right) b-52
    a+b=f(b)=min→∂f(b)∂b=0→b2+2b−52(b+1)2=0→b=−1±53a+b = f(b) =min \rightarrow \frac{\partial f(b)}{\partial b}=0 \rightarrow \frac{b^2+2b-52}{(b+1)^2} = 0 \rightarrow b = -1 \pm \sqrt{53}
    b einsetzen in erste Gleichung:
    a(−1±53)=52−(a+(−1±53))→a=−1±53 (=b)a\left(-1 \pm \sqrt{53}\right)=52-(a+\left(-1 \pm \sqrt{53}\right)) \rightarrow a = -1\pm \sqrt{53}~(=b)

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  • ?

    Ach mist, für b -> -1 geht a natürlich gegen (+-) unendlich...

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