\sqrt{x^2 + 1/n} unendlich oft differenzierbar?
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Ist f: [-1,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x^2 + 1/n}, (n \geq 1) unendlich oft differenzierbar?
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Ja, sowohl die Funktionen f(x) = x^2, g(x) = 1/n, als auch h(x) = sqrt(x) sind unendlich oft differenzierbar. Also ist auch (h o (f+g))(x) unendlich oft diffbar.
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Jester schrieb:
h(x) = sqrt(x) [ist] unendlich oft differenzierbar.
Das kannst du nicht einfach so behaupten, an der Stelle 0 ist die Ableitung von sqrt(x) nicht definiert (und das ist vermutlich der Grund, wieso dort 1/n steht).
Du musst noch sagen, dass der Wertebereich f+g sicher in (0,∞) liegt und darauf sqrt glatt ist.
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Jester schrieb:
Ja, sowohl die Funktionen f(x) = x^2, g(x) = 1/n, als auch h(x) = sqrt(x) sind unendlich oft differenzierbar. Also ist auch (h o (f+g))(x) unendlich oft diffbar.
Danke!
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biffbaff schrieb:
Jester schrieb:
h(x) = sqrt(x) [ist] unendlich oft differenzierbar.
Das kannst du nicht einfach so behaupten, an der Stelle 0 ist die Ableitung von sqrt(x) nicht definiert (und das ist vermutlich der Grund, wieso dort 1/n steht).
Du musst noch sagen, dass der Wertebereich f+g sicher in (0,∞) liegt und darauf sqrt glatt ist.
Hm, dann ist f' vielleicht gar nicht differenzierbar?
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Doch schon. Nur h(x) ist halt bei 0 nicht differenzierbar. Auf dem offenen Intervall (0,unendlich) ist es aber unendlich oft differenzierbar. Da x^2+1/n für jedes n > 0 echt größer als 0 ist, ist das also kein Problem.
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Das gilt für f(x), aber auch für f'(x)?