Bedingte Wahrscheinlichkeit

Kann man folgende Aufgabe mit den gegeben Angaben lösen?

Wenn es heute sonnig ist, ist es morgen zu 60% Wahrscheinlichkeit sonning. Wenn es heute Wolken gibt, dann gibt es morgen zu 30% wolkig.

Es sei heute sonnig. Mit Welcher Wahrscheinlichkeit war es gestern wolkig?

Ich kenne hier nur die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(Es ist sonnig | Morgen ist es sonnig) = 0.6
P(Es ist wolkig | Morgen ist es wolkig) = 0.3 (und entsprechende Gegenwahrscheinlichkeiten)

Jester

Der satz von bayes stellt einen zusammenhang zwischen den bedingten wahrscheinlichkeiten her. Wenn du zusätzlich noch annimmst, dass die grenzvertrilung schon erreicht ist, kannst du auch die dafür fehlenden werte ausrechnen und dann einsetzen. Ich denke schon, dass die Angaben dafür reichen.

Columbo

Wenn es gestern sonnig war, ist es heute mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.6 sonnig. Und wenn es gestern wolkig war, ist es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.7 sonnig. Ich tippe also einfach mal auf $\frac{0.7}{1.3} \approx 0.54$ .

Jester

Also meine rechnung sagt 0.4 aber ich hab auch nicht geraten.

Columbo

Jester schrieb:

Also meine rechnung sagt 0.4 aber ich hab auch nicht geraten.

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht mein Fachgebiet

Gregor

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Gregor

Jester schrieb:

Also meine rechnung sagt 0.4 aber ich hab auch nicht geraten.

Ok, Du hast ungefähr folgendes gemacht, oder?

1. Du hast die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten aufgestellt:

\left(\matrix{0.6 & 0.7 \\ 0.4 & 0.3}\right)

2. Du hast die Matrix diagonalisiert und zu den beiden Eigenwerten $\lambda_1 = 1$ und $\lambda_2 = -0.1$ die Eigenvektoren v_1 = \left(\matrix{\frac{7}{11} \\ \frac{4}{11}}\right) und v_2 = \left(\matrix{0.5 \\ -0.5}\right) gefunden und gesehen, dass nur der erste Sinn ergibt.

3. Entsprechend hast Du dann in Bayes P(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B) eingesetzt P(B|A) = 0.7, P(A) = 4/11, P(B) = 7/11. ...und dann P(A|B) = 0.4 herausgekriegt?

Sieht für mich nachvollziehbar aus. Oder gibt es da noch einen anderen Ansatz?

Jester

Ja, genau das hab ich gemacht. Bzw. ich hab direkt nur den Eigenvektor zum Eigenwert 1 ausgerechnet, weil ich ja nur den brauchte.

Gregor

Gibt es eigentlich einen Satz, nach dem bei so einer Matrix, bei der sich die Elemente der Spaltenvektoren jeweils auf 1 aufsummieren, immer ein Eigenwert 1 vorhanden ist? ...oder ähnlich?

Jester

Wenn wir den Eigenvektor zum EW 1 berechnen wollen, nehmen wir ja die Matrix und ziehen auf der Hauptdiagonale jeweils 1 ab. Nach Voraussetzung ist dann die Spaltensumme jeweils 0, also ist der Rang höchstens n-1 und es gibt eine nichttriviale Lösung.

Gregor

Jester schrieb:

Wenn wir den Eigenvektor zum EW 1 berechnen wollen, nehmen wir ja die Matrix und ziehen auf der Hauptdiagonale jeweils 1 ab. Nach Voraussetzung ist dann die Spaltensumme jeweils 0, also ist der Rang höchstens n-1 und es gibt eine nichttriviale Lösung.

Clever. Danke!