globales Minimum
-
Sei f: IR -> IR stetig mit f(x) >= x² für alle x in IR. Warum hat dann f ein globales Minimum?
-
Meine Idee ist, dass IR die Vereinigung von [-C,+C] ist, und dass f auf diesen [-C,C] immer ein Minimum annimmt, da [-C,C] kompakt ist.
-
Und dann muss man benutzen, dass f(x) -> oo geht, wenn x -> +/-oo.
-
Sei C = f(0). Dann gibt es wegen f(x) -> oo für |x| -> oo ein K, sodass f(x) > C für |x| > K (). Auf [-K,K] hat f ein Minimum, da das Intervall kompakt ist, und dieses ist ein globales Minimum wegen ().
Stimmt das?
-
Man kann es sich auch kompliziert machen...
f(0) = 0
f(x) > 0 für alle x in R
fertig.
-
Achtung: Ich habe geschrieben f(x) >= x², nicht f(x) = x².
-
Und ich geh jetzt meine Brille putzen.
-
:p
-
dsfsfd schrieb:
Sei C = f(0). Dann gibt es wegen f(x) -> oo für |x| -> oo ein K, sodass f(x) > C für |x| > K (). Auf [-K,K] hat f ein Minimum, da das Intervall kompakt ist, und dieses ist ein globales Minimum wegen ()
... und weil das Minimum <= C ist.