Polynome f mit f(X + 1) = f(X) in Charakteristik p

Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0 (z.B. Z/pZ) und f ein Polynom über K mit f(X + 1) = f(X). Wie "sieht dann f aus"?

Beispielsweise ist f(X) = X^p - X - a für a in K so ein Polynom.

Vermutung: Das sind gerade die Polynome in X^p - X.

So müsste es gehen: Zeige, dass aus f(X+1) = f(X) folgt, dass der höchste Exponent von f(X) gleich pn ist. Dann betrachte g(X) := f(X) - (X^p - ⁿ, stelle fest, dass auch g(X+1) = g(X) gilt, und verwende Induktion nach dem Grad.

polly nom schrieb:

So müsste es gehen: Zeige, dass aus f(X+1) = f(X) folgt, dass der höchste Exponent von f(X) gleich pn ist.

Das ist falsch, z.B. f(X)=X(X^p-X).

Sei g(X)=f(X)-f(0). Dann ist f(0)=f(1)=f(2)=...=f(p-1) folgt g(k)=0 für alle k in Z/pZ.

Nun kann die Nullstellen von g abtrennen: g(X)=X(X-1)(X-2)···(X-p+1)h(X) wobei h(X) wiederum ein beliebiges Polynom (möglicherweise das Nullpolynom) ist.

Daraus ergibt sich f(X)=(X^p-X)h(X)+c für beliebiges h.

Sei nun Z/p²Z=(Z/pZ)(a) und k∈Z/pZ.
f(a+k)=((a+k)^p-a-k)h(x+k)+c=(a^p-a+k^p-k)h(a+k)+c=(a^p-a)h(a+k)+c.
Aus f(a+k)=f(a) folgt daher h(a+k)=h(a), d.h. h selbst lässt sich schreiben als h(X)=(X-a)(X-a+1)···(X-a+k-1)h'(X)+c'.

Ich bin jetzt gerade zu faul, da weiter zu überlegen, aber das lässt sich sicher sauber mit Induktion aufziehen.

expo15 schrieb:

polly nom schrieb:

So müsste es gehen: Zeige, dass aus f(X+1) = f(X) folgt, dass der höchste Exponent von f(X) gleich pn ist.

Das ist falsch, z.B. f(X)=X(X^p-X).

(X+1)((X+1)^p - (X+1)) = (X+1)(X^p - != X(X^p-X).

polly nom schrieb:

expo15 schrieb:

polly nom schrieb:

So müsste es gehen: Zeige, dass aus f(X+1) = f(X) folgt, dass der höchste Exponent von f(X) gleich pn ist.

Das ist falsch, z.B. f(X)=X(X^p-X).

(X+1)((X+1)^p - (X+1)) = (X+1)(X^p - != X(X^p-X).

Wenn du wirklich Gleichheit der Polynome willst (und nicht nur Gleichheit für alle Werte aus z.B. Z/pZ), dann habe ich dich falsch verstanden.

Genau. Es geht um die Gleichheit von Polynomen. Beispielsweise nehmen 0 und X^p - X auf F_p dieselben Werte (nämlich alle 0) an, sind aber offenbar nicht gleich.