Gleichung aus Gleichungen zusammensetzen

[shisha]

Ich habe 3 Gleichungen, aus denen ich gerne eine vierte bekommen würde, ich sehe aber momentan nicht wie das gehen soll:

\lVert p -p^\prime \rVert \leq 2r \\ \lVert q -q^\prime \rVert \leq 2r \\ \lVert p -q \rVert \geq sr \\ \lVert p^\prime -q^\prime \rVert \geq sr \\ \lVert p^\prime -q^\prime \rVert \leq \lVert p^\prime -p \rVert + \lVert p -q \rVert + \lVert q -q^\prime \rVert

Was ich daraus gerne hätte:

$\lVert p^\prime -q^\prime \rVert \leq (1 + \frac{4}{s}) \lVert p -q \rVert$

Wie kann ich das folgern?
Es handelt sich um ein geometrisches Problem.

[s04]

Kann man von s>0 ausgehen?

[s04]

Vielleicht so?

$\lVert p^\prime -q^\prime \rVert \leq \lVert p^\prime -p \rVert + \lVert p -q \rVert + \lVert q -q^\prime \rVert$

mit (1) und (2) und Symmetrie bezüglich Vorzeichenumkehr von ||.||

\leq 2r + \lVert p-q \rVert + 2r \\ = \lVert p-q \rVert + sr \frac{4}{s}

für s!=0, dann mit (3)

$\leq \lVert p-q \rVert + \lVert p-q \rVert \frac{4}{s} = (1 + \frac{4}{s}) \lVert p -q \rVert$