Lineare Unabhängigkeit

Hallo, ich lese gerade diesen Artikel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_code#Generator_and_check_matrices

Am Ende dieses Abschnittes wird bewiesen, dass Distanz d eines linearen Codes gleich der Anzahl der abhängigen Spalten der Parity-Check-Matrix ist.

Beim Beweis verstehe ich jedoch folgendes nicht:

Warum sind die $H_i$ linear abhängig für die $\sum\limits_{i=1}^{n} c\_i \cdot H\_i = 0$ gilt?

Falls zwei Vektoren linear abhängig sind, so ist deren Skalarprodukt größer 0. Aber irgendwie bringt mir das hier wenig.

Kann mir jemand weiterhelfen?

icarus2

kolpo92 schrieb:

Warum sind die $H_i$ linear abhängig für die $\sum\limits_{i=1}^{n} c\_i \cdot H\_i = 0$ gilt?

In der Definition von linearer Abhaengigkeit hast du noch gegeben, dass einer der Skalare ungleich $0$ ist, d.h. es existiert ein $c_k \neq 0$ .

Dann kannst du den Vektor $H_k$ als Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben:
H\_k = -\frac{1}{c\_k}\sum\limits_{\substack{i=1\\ i \neq k}}^n c\_i H\_i = \sum\limits_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^n -\frac{c\_i}{c\_k}H_i.

Danke!