Wozu braucht es das schwaches Gesetz der großen Zahlen?

Ich habe folgendes gefunden:

https://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/ schrieb:

The weak law is easy to prove, but the strong law (which of course implies the weak law, by Egoroff’s theorem) is more subtle, and in fact the proof of this law (assuming just finiteness of the first moment) usually only appears in advanced graduate texts.

Es sind also wirklich Sätze. So wie ich das interpretiere, gibt es die beiden nur, weil die starke Version schwieriger zu beweisen ist.

Sind die Gegenbeispiele im Wikipedieartikel also falsch?

SeppJ

Wenn man gewisse Annahmen an die Zahlenfolgen stellt, dann folgt gegebenenfalls, dass diese dem schwachen bzw. starken Gesetz der großen Zahlen folgen. So herum kann man es natürlich auch formulieren, wenn man möchte und das kann man natürlich auch jeweils beweisen.

Wenn man beispielsweise voraussetzt, dass die Zufallsvariablen unabhängig, identisch verteilt, und mit endlichem Erwartungswert sind, dann kann man beweisen, dass diese dem starken Gesetz der großen Zahlen gehorchen. Und damit auch automatisch dem schwachen Gesetz der großen Zahlen. Aber es sind andere Voraussetzungen an die Zufallsvariablen denkbar, bei denen diese nur dem schwachen Gesetz der großen Zahlen (oder gar keinem Gesetz der großen Zahlen!) gehorchen.

SeppJ schrieb:

Aber es sind andere Voraussetzungen an die Zufallsvariablen denkbar, bei denen diese nur dem schwachen Gesetz der großen Zahlen (oder gar keinem Gesetz der großen Zahlen!) gehorchen.

[Citation needed]
Wo werden die Gesetze als Eigenschaften definiert und nicht als Sätze? Was sind die allgemeine Definitionen (mit Quelle)?

Bengo

Ich denke die stochastische Konvergenz und die "fast" Konvergenz sind die Definitionen und die Gesetze der großen Zahlen die Sätze.

Bengo schrieb:

Ich denke die stochastische Konvergenz und die "fast" Konvergenz sind die Definitionen und die Gesetze der großen Zahlen die Sätze.

Also ist das schwache Gesetz überflüssig, wenn man das starke hat?

SeppJ

Schwaches Geschlecht schrieb:

Bengo schrieb:

Ich denke die stochastische Konvergenz und die "fast" Konvergenz sind die Definitionen und die Gesetze der großen Zahlen die Sätze.

Also ist das schwache Gesetz überflüssig, wenn man das starke hat?

Was meinst du mit "das starke Gesetz haben"?

SeppJ schrieb:

Schwaches Geschlecht schrieb:

Bengo schrieb:

Ich denke die stochastische Konvergenz und die "fast" Konvergenz sind die Definitionen und die Gesetze der großen Zahlen die Sätze.

Also ist das schwache Gesetz überflüssig, wenn man das starke hat?

Was meinst du mit "das starke Gesetz haben"?

Damit meinte ich den Satz, wie er in Wikipedia steht (in seinem Zitat steht Gesetz=Satz und darauf habe ich mich bezogen).

SeppJ

Du hast es immer noch nicht kapiert. Oder stellst dich dumm. Ich gebe jedenfalls alle Erklärungsversuche auf.

SeppJ schrieb:

Du hast es immer noch nicht kapiert. Oder stellst dich dumm. Ich gebe jedenfalls alle Erklärungsversuche auf.

Mir ist deine Sichtweise schon klar.

Es gibt:
A1 = schwache Konvergenz des Mittelwerts von Zufallsvariablen gegen den erwarteten Mittelwert
A2 = starke Konvergenz des Mittelwerts von Zufallsvariablen gegen den erwarteten Mittelwert
B1 = Satz/Beweis, dass A1 für iid Zufallsvariablen gilt
B2 = Satz/Beweis, dass A2 für iid Zufallsvariablen gilt

Du behauptest: Schwaches Gesetz = A1, starkes Gesetz = A2 (und manchmal ungenaue Bezeichnung von B1/B2 als "Gesetz")
Mein Problem dabei: A1 und A2 sind nicht genau spezifiziert, in keiner Quelle die ich gefunden habe, wird A1 oder A2 explizit definiert.

Bengo behauptet: A1, A2 haben keinen Namen, dass ist einfach schwache/starke Konvergenz von irgendetwas. schwaches Gesetz = B1, starkes Gesetz = B2
Das war auch meine ursprüngliche Sicht.
Dabei stellt sich aber die Frage, was der Sinn von B1 ist, wenn es von B2 dominiert wird (meine Frage im Eingangspost).

Bengo

Klar A1 ist "stochastisch konvergieren" und A2 ist "fast-sicher konvergieren", beides hat einen Namen und ist auch definiert.