Hilfestellung beim Finden der speziellen Lösung eines DGL-Systems

Hi, ich habe gerade probleme dabei eine spezielle Lösung für ein inhomogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung zu finden.
Das System sieht folgendermaßen aus:

x'(t) = y \\ y'(t) = x + e^{t} + e^{-t}

Die homogene Lösung habe ich schon berechnet, die sieht bei mir folgendermaßen aus:
$\vec x = C1 * e^{-t} * \binom{-1}{1} + C2 * e^{t} * \binom{1}{1}$
Als spezielle Lösung habe ich bereits folgendes ausprobiert:
$\vec Xs = \binom{A1}{A2} * e^{t} + \binom{B1}{B2} * e^{-t}$
und
$\vec Xs = (\binom{A1}{A2} * e^{t} + \binom{B1}{B2} * e^{-t}) * t$

Leider lässt sich das darauffolgende LGS nicht lösen...
Grüße

Bengo

kennst du https://www.wolframalpha.com/? ?

Was sind das eigentlich für Funktionen?
R->R oder R^2->R2 , aber wie definierst du dir da die e-Funktion, bzw die Addition mit Verkoren und Skalaren?

Also für R->R ergibt sich:

$x(t) = \frac{1}{2} c\_1 e^{-t} (e^{2 t}+1)+\frac{1}{2} c\_2 e^{-t} (e^{2 t}-1)+\frac{1}{4} e^{-t} (-2 t+e^{2 t} (2 t-1)-1)$
und

y(t) = \frac{1}{2} c\_1 e^{-t} (e^{2 t}-1)+\frac{1}{2} c\_2 e^{-t]} (e^{2 t}+1)+\frac{1}{4} e^{-t} (2 t+e^{2 t} (2 t+1)-1)

kommt mir recht kompliziert vor für eine Übungsaufgabe, sicher, dass du keinen Fehler beim Abschreiben gemacht hast?

kennst du https://www.wolframalpha.com/? ?

Ja, aber der Lösungsweg wird dort nur Premiummitgliedern angezeigt.

Was sind das eigentlich für Funktionen?

x(t) und y(t) sind beides skalare Funktionen, die von t abhängig sind.

wie definierst du dir da die e-Funktion, bzw die Addition mit Verkoren und Skalaren?

Die e-Funktionen werden einfach skalar mit den Vektoren multipliziert, heisst man kann sie genauso gut reinziehen. Aber ich finde es so übersichtlicher.
Hier nochmal wie es alternativ aufgeschrieben werden könnte.
\vec {x} =\binom {-C1\*e^{-t}+C2\*e^{t}}{C1\*e^{-t}\*+C2*e^{t}}

Achso, falls das nicht ganz verständlich war:
Der Vektor x soll in diesem Fall die beiden Ableitungen x' und y' enthalten:
$\vec {x} = \binom {x'(t)}{y'(t)}$

Bengo

Ok also ich würde die zweite gleichung einfach mal ableiten, dann erhälst du:

$y''(t) = y - e^{-t} + e^t$

Jetzt hast du nur noch eine Funktion und damit eine inhomogene lineare DGL von grad 2, dafür aber ohne y'. Glaube das lässt sich lösen.