Existenz des Gradienten

Ich habe eine Funktion R^2 -> R gegeben, die im Punkt (0,0) = 0 ist und sonst einem AUsdruck entspricht, der in (0,0) nicht definiert ist.

Was muss ich machen, um zu zeigen, dass der Gradient in (0,0) existiert, oder eben nicht?

Jodocus

Das hängt voll und ganz davon ab, wie du Gradient etc. definierst. Nach meiner Definition musst du lediglich zeigen, dass f in (0,0) differenzierbar ist.

Grund: Der Gradient ist das duale Vektorfeld zur Differential-Form von f, also df. Eine Möglichkeit (von vielen) das zu tun ist zu schauen, ob alle partiellen Ableitungen existieren und diese stetig sind. Oder du schaust mal, ob du direkt eine lineare Abbildung $L_0=df(\vec 0)$ findest, sodass $\lim\limits_{x\rightarrow \vec 0}\frac{\|f(\vec x)-f(\vec 0)-L(\vec x)\|}{\|\vec x\|}=0$ für irgendwelche Normen, z.B. Standardnorm.

Edit: Mit dual meine ich: wenn $\vec u: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ ein Vektorfeld ist und $I$ den euklidischen Isomorphismus bezeichnet, sodass punktweise $I(\vec u)(\vec p)=\langle \vec u(\vec p),\cdot\ \rangle$ für alle $\vec p\in \mathbb{R}^m$ gilt, dann ist $\vec\nabla f := I^{-1}(df)$ .

In meinen Aufzeichnungen ( das war eine Übungsaufgabe, die ich gerade wiederhole)
steht bei der Lösung:

Betrachte f(x,0) = 0 = f(0,y) -> Gradient existiert in (0,0).

Mir kommt das ein wenig kurz vor und kann nicht mehr nachvollziehen, was da genau dahinter steckt.

Jodocus

Wenn das die ganze Lösung ist, ist sie Blödsinn.

Wie lautet denn die exakte Aufgabe?

f(x,y) = x^2 * y^2 + ln(x^2 +y^2) für alle Punkte ausser (0,0)

Frage: exisitert der Gradient in (0,0)

Jodocus

Nein. Das Ding ist nicht mal stetig in (0, 0).

In (0,0) ist es als 0 definiert

SeppJ

shisha schrieb:

In (0,0) ist es als 0 definiert

Das macht es auch nicht stetig in (0,0). Der (rechtsseitige) Grenzwert von log(x) für x gegen 0 ist -∞.

Ahh, jetzt seh ichs, das plus sollte ein mal sein

Jester

Nochmal: Wie lautet denn die exakte Aufgabe?

Glaubst du ernsthaft es wird sich jetzt einer hinsetzen und raten welches der pluszeichen man durch ein Mal ersetzen muss, damit zumindest die funktion rauskommt, die in der Aufgabenstellung steht, die du aber nicht verrätst? Ein bisschen mehr musst du schon mithelfen.

Jodocus

Ich nehme mal schwer an, dass es sich um $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}, (x,y)\mapsto x^2y^2\ln{(x^2+y^2)}$ handelt, das Ding ist immerhin stetig in (0, 0).
Jetzt beweise, dass die 1-Form bei (0, 0), $\alpha(0, 0):\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R}, \vec x \mapsto 0$ die Bedingung der Differenzierbarkeit in (0, 0) erfüllt, also $\lim\limits_{\vec x \to \vec 0}\frac{\|f(\vec x)-f(\vec 0)-\alpha(0, 0)(x)\|\_A}{\|\vec x\|\_B}=0$ mit 2 beliebigen Normen.