Intution des erwarteten Maximums zweier Zufallsvariablen?

[Eisflamme]

Hi,

seien $X$ und $Y$ Zufallsvariablen. Nun definieren wir $Z:=\max\{X, Y\}$.

Die CDF von $Z$ ist ja nach der Wahrscheinlichkeit davon, dass X und Y gleichzeitig kleiner sind als a, also eine Art Kombination der CDFs von X und Y. Dann kann man daraus natürlich die PDF bestimmen.

Aber was hat das mit einem "Maximum" zu tun? Wenn ich ein Maximum von {0, 10} haben möchte, kommt einfach 10 raus. Wenn ich aber das Maximum der zufälligen Augenzahl beim Wurf eines Würfels und des zufälligen Wurfs eines Würfels (mit Koderiung Kopf = 0, Zahl = 1) haben möchte... was ist da bitte die intuitive Lösung?

Vielleicht kann jemand helfen.

Viele Grüße
Eisflamme

[Eisflamme]

Okay, habe die Intuition nun doch selbst gefunden.

Wir werfen eine Münze und es kommt 1 raus, wir werfen eine andere Münze und es kommt 0 raus. Maximum 1.

Jetzt werfen wir wieder zwei Münzen und es kommt {0, 0} raus, Maximum 0.

Jetzt machen wir das unendlich häufig, bilden jedes mal das Maximum... Und die Verteilungsfunktion des Maximums ist das, was wir suchen. Das lässt sich auch gut in Excel simulieren. Schauen wir uns von den berechneten Maxima über unsere N Doppel-Münz-Würfe den Erwartungswert an, entspricht das dann also z.B.:
\mathbb{E}[\max\{X,Y\}]

Das erwartete Maximum der Werte von zwei geworfenen Münzen (wie oben kodiert) ist also 0.75.

[Bitte ein Bit]

also eine Art Kombination der CDFs von X und Y

Irre ich mich oder befinden wir uns hier im Bereich der Dichtetransformation von Wahrscheinlichkeiten?

Deine Frage wird spannend wenn X gleichverteilt und Y normalverteilt ist.

[Eisflamme]

Hi,

ich konnte keine Definition von Dichtetransformation finden. Schien jetzt für mich zu heißen, dass man bei Einsetzen der Zufallsvariable in irgendeine Abbildung direkt schaut, wie man die Dichtefunktion ändert?

Die übliche Herangehensweise scheint zumindest für einige Verteilungen und bei unabhängigen Variablen zu sein, dass man zunächst die max-CDF bildet und dann ableitet, da ja gilt

$Z := max\{X,Y\}$

$CDF_Z(a) = P(X<a)P(Y<a)$

Und dann bildet man sich halt die Integrale und kombiniert die. Für die Normalverteilung habe ich mir das nicht im Detail angesehen.

[Bitte ein Bit]

https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
http://wwwa1.kph.uni-mainz.de/Vorlesungen/WS07/Statistik/Kapitel1e.pdf
http://www.juergen-grieser.de/germanoldcentury/varianz/node2.html
http://was-die-welt-im-innersten-zusammenhaelt.de/2015/06/23/transformation-kontinuierlicher-zufallsvariablen/ (Merkwürdiger Namen für eine Seite, Inhalt sieht aber ok aus...)
tu-dresden.de/die_tu_dresden/fakultaeten/fakultaet_elektrotechnik_und_informationstechnik/ifn/tnt/lehre/vl/mith/dichtetransformation.pdf
Ich habe mal ein paar Links für dich gesucht.

Deine Funktion ist Z(X, Y) = max(X, Y), also etwas zweidimensionales.

Hmm, ich glaube meine Idee hat einen Haken. Die Funktion Z ist nicht stetig, geschweige denn bijektiv.