Unbeschränkte Funktion auf kompaktem Definitionsbereich

[Jodocus]

Hi! Ich beschäftige mich etwas mit Topologie und wollte folgendes beweisen:

Behauptung: Sei $(X, \mathcal O)$ ein topologischer Raum, $K\subseteq X$ kompakt und $f:K\rightarrow \mathbb{R}$ eine unbeschränkte Funktion, also $\sup\{f(x):x\in K\}=\infty$. Dann existiert ein $x\in K$, sodass für jede Umgebung $U_x \subseteq X$ von $x$ gilt, dass $\sup\{f(y):y\in U_x\cap K\}=\infty$.

Beweisen will ich das per Kontraposition. Angenommen also, $\forall x\in K$ existiert eine Umgebung $U_x$ von $x$, sodass $\sup\{f(y):y\in U_x\cap K\}\lt\infty$. Da $K$ kompakt ist, existiert für jede offene Überdeckung $(U\_i)\_{i\in I}\in \mathcal{O}_K$ eine endliche Teilüberdeckung $(U\_j)\_{j\in J}$ von $K$, wobei $\mathcal O_K$ die Relativtopologie bzgl. $K$ ist und $J\subseteq I$ eine endliche Teilmenge der Indexmenge $I$ ist. Jetzt sage ich, dass $\left((U\_x\cap K)\cap\bigcup\limits\_{i\in I}U\_i\right)\_{x\in K}$ wieder eine offene Überdeckung von $K$ ist, da es für $x\in U_x$ eine offene Menge $V\in\mathcal{O}$ mit $V\subseteq U_x$ gibt, also $V\cap K \subseteq U_x\cap K$ offen bzgl. $\mathcal{O}_K$ und $(U\_x\cap K)\cap\bigcup\limits\_{i\in I}U_i$ als endlicher Schnitt offener Mengen bzgl. $\mathcal O_K$ offen. Wegen der Kompaktheit von $K$ gibt es dann ein endliches $J\subseteq K$, sodass $K=\bigcup\limits_{x\in J}\left((U\_x\cap K)\cap\bigcup\limits\_{i\in I}U_i\right)$, also $\forall y\in K\ \exists x\in J: y\in U_x\cap K$ und damit $\sup\{f(y):y\in K\}\le\sup\{f(y):y\in U_x\cap K, x\in J\}\lt\infty \Rightarrow f$ ist auf ganz $K$ unbeschränkt. Kann da jemand mal drüberschauen und sehen, ob das so korrekt argumentiert ist? Vielen Dank!

[Jodocus]

Naja, das ist wohl noch etwas wirr argumentiert, da ja z.B. $U\_x\cap K\cap\bigcup\limits\_{i\in I}U\_i=U\_x\cap K$ ist (Kompaktheit). Irgendwie kommt mir die Aussage trivial vor. Wenn es für jedes $x\in K$ eine Umgebung $U_x$ von $x$ gibt, für die $\sup\{f(y):y\in U_x\cap K\}\lt\infty$ gilt, steht schon mal fest, dass $\emptyset\neq\{x\}\subseteq U_x\cap K$ ist und damit $K=\bigcup\limits_{x\in K}\{x\}=\bigcup\limits_{x\in K}(U_x\cap K)$. Und dann ist $\sup\{f(y):y\in K\}=\sup\{f(y):y\in \bigcup\limits_{x\in K}(U\_x\cap K)\}=\sup\{\sup\{f(y):y\in U\_x\cap K\}:x\in K\}\lt\infty$, einfach aus der Definition von $U_x$. Wo brauche ich da noch Kompaktheit?

[Bashar_bib]

Kompaktheit brauchst du, damit die Identität auf K=IR dir kein Gegenbeispiel liefert.

Wenn Kompaktheit vorliegt, ist das eigentlich ein Standardargument. Wähle für jedes x ∈ K eine Umgebung U(x), auf der f (nach oben) beschränkt ist, sagen wir f(y) ≤ S(x) für alle y in U(x). Aufgrund der Kompaktheit kannst du mit endlich vielen dieser Umgebungen U(x1), ..., U(xn) ganz K überdecken und erhältst so max{S(x1), ..., S(xn)} als obere Schranke für f.

(Sorry, falls das dein Beweis ist, der sieht mir etwas zu technisch aus, um ihn aus Spaß zu lesen

[Jodocus]

Bashar_bib schrieb:

Kompaktheit brauchst du, damit die Identität auf K=IR dir kein Gegenbeispiel liefert.

Wenn Kompaktheit vorliegt, ist das eigentlich ein Standardargument. Wähle für jedes x ∈ K eine Umgebung U(x), auf der f (nach oben) beschränkt ist, sagen wir f(y) ≤ S(x) für alle y in U(x). Aufgrund der Kompaktheit kannst du mit endlich vielen dieser Umgebungen U(x1), ..., U(xn) ganz K überdecken und erhältst so max{S(x1), ..., S(xn)} als obere Schranke für f.

(Sorry, falls das dein Beweis ist, der sieht mir etwas zu technisch aus, um ihn aus Spaß zu lesen

Hi, danke für deine Antwort.
Ja, im Prinzip steht in meinem 2. Post, was du sagst. Aber warum muss ich denn überhaupt eine endliche Überdeckung wählen? Ich kann sie doch gleich unendlich lassen, das Supremum von unendlich vielen reellen Zahlen (die Suprema jeder einzelnen Umgebung) ist ja immer noch reell, also brauche ich die Kompaktheit nicht. Inwiefern macht mir die Identität ein Gegenbeispiel? Auf jeder kompakten Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist die Identität doch beschränkt?

[Bashar]

Jodocus schrieb:

Aber warum muss ich denn überhaupt eine endliche Überdeckung wählen? Ich kann sie doch gleich unendlich lassen, das Supremum von unendlich vielen reellen Zahlen (die Suprema jeder einzelnen Umgebung) ist ja immer noch reell, also brauche ich die Kompaktheit nicht.

Eine unendliche Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist natürlich nicht automatisch beschränkt, hat somit auch nicht immer ein Supremum in $\mathbb{R}$. Betrachte $\mathbb{N}$, oder gleich $\mathbb{R}$ ...

Inwiefern macht mir die Identität ein Gegenbeispiel? Auf jeder kompakten Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist die Identität doch beschränkt?

Ja sicher, jede stetige (und wie der zu beweisende Satz besagt, auch jede lokal beschränkte) Funktion auf einem Kompaktum ist beschränkt. Aber wenn du die Voraussetzung der Kompaktheit weglässt, hast du mit $\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ eine lokal beschränkte, aber global unbeschränkte Funktion.

[Jodocus]

Bashar schrieb:

Jodocus schrieb:

Aber warum muss ich denn überhaupt eine endliche Überdeckung wählen? Ich kann sie doch gleich unendlich lassen, das Supremum von unendlich vielen reellen Zahlen (die Suprema jeder einzelnen Umgebung) ist ja immer noch reell, also brauche ich die Kompaktheit nicht.

Eine unendliche Teilmenge von $\mathbb{R}$ ist natürlich nicht automatisch beschränkt, hat somit auch nicht immer ein Supremum in $\mathbb{R}$. Betrachte $\mathbb{N}$, oder gleich $\mathbb{R}$ ...

Ja stimmt, das macht Sinn. Danke dir.