4. Analysis Aufgaben

Analysis Aufgaben


  • Hi,

    Ich komme bei zwei Aufgaben nicht weiter:

    • Kann Q\mathbb Q als q\_1, q\_2, \dots aufgezählt werden, sodass ∑∞(qn+1−qn)2\sum^\infty (q_{n+1} - q_n)^2 konvergiert?
    • Sei SS eine (womöglich unendliche) Menge von ungeraden natürlichen Zahlen. Beweise dass es eine reelle Folge (xn)(x_n) gibt, sodass für jede positive Ganzzahl kk die
      Reihe ∑n=1∞xnk\sum_{n=1}^\infty x_n^k konvergiert wenn und nur wenn k∈Sk \in S.

    Es sind die beiden Aufgaben des Aufgabenzettels bei denen ich mit meinem Latein völlig am Ende bin. Ich denke, dass die Antwort auf die erste Frage Ja lautet - der zweite Teil dieser Aufgabe fragt nach ∣qn+1−qn∣|q_{n+1} - q_n|, welches ich widerlegt habe, es ist also suggestiv, dass der erste Teil möglich ist. Ich habe aber keine Ahnung wie das zu beweisen (oder widerlegen) wäre.

    Die zweite Aufgabe benötigt AFAICS eine bedingt konvergente Reihe, aber auch hier bin ich ziemlich verwirrt, wie sowas überhaupt möglich ist.

    Hat jemand ein paar Tipps?

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  • J

    Hi,

    wie hast du es in der ersten Aufgabe denn für ∣q_n−q_n+1∣|q\_n-q\_{n+1}| gezeigt? Hast du es gegen die harmonische Reihe nach unten abgeschätzt?

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  • Jodocus schrieb:

    Hi,

    wie hast du es in der ersten Aufgabe denn für ∣q_n−q_n+1∣|q\_n-q\_{n+1}| gezeigt? Hast du es gegen die harmonische Reihe nach unten abgeschätzt?

    Nein. Ich habe argumentiert dass die Reihe mit Summanden ∣q_n∣−∣q_n+1∣|q\_n| - |q\_{n+1}| divergiert, was über die Dreiecksungleichung impliziert, dass eine Reihe mit Summanden ∣q_n−q_n+1∣|q\_n - q\_{n+1}| ebenfalls divergiert.

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  • B

    Ich glaube ich habe die Lösung für die zweite Aufgabe. Von der Aufgabenstellung her würde ich auf eine (alternierende) harmonische Reihe tippen. Aber die Potenzierung mit k führt zu 1/n^k Reihentermen, welche immer konvergieren. Hier gibt uns die Aufgabe einen Tipp. Die Menge S muss nicht unendlich groß sein. Ist sie endlich, können wir ein kmax definieren. Nun definieren ich:

    x(n) = (-1)^n / n^(1/kmax)

    x(n)^k = (-1)^(k×n) / n^(k/kmax)

    Ist k ungerade ergibt sich folgende Reihe: x(n)^k = (-1)^n / n^(k/kmax). Diese konvergiert gemäß Leipnitz Kriterium.

    Ist k gerade ergibt sich die Reihe: x(n)^k = 1 / n^(k/kmax). Da k/kmax zwischen 0 und 1 liegt, können wir das Integralkriterium anwenden um die Divergenz zu zeigen.

    0

  • An welchem Punkt machst du eine Unterscheidung zwischen Elementen von SS und beliebigen ungeraden Zahlen?

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  • B

    Ich definiere S als eine endliche Teilmenge der Menge der ungeraden Zahlen. k und kmax sind Elemente von S.

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  • Ja, aber was passiert, wenn wir eine ungerade Zahl haben, die kleiner ist als kmax aber nicht in SS?

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  • B

    Hast Recht.

    Und wenn man S als Menge aller ungeraden Zahlen in der Zn Menge definiert? Dann wäre nur ungeraden Zahlen von 0 und n-1 erlaubt. Die Komplementmenge wäre die Menge aller geaden Zahlen von 0 bis n-1.

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  • N

    Arcoth schrieb:

    Hat jemand ein paar Tipps?

    naja,
    Aufgabe korrekt(er) abschreiben, mit (einfach(st)en) Teilmengen herumprobieren oder Zahlenformate ändern hilft auf jeden Fall. 😉

    0

  • nachtfeuer schrieb:

    Aufgabe korrekt(er) abschreiben

    Wenn du einen Fehler siehst, dann zeig ihn mir doch bitte auf.

    0
  • N

    Arcoth schrieb:

    ∑∞(qn+1−qn)2\sum^\infty (q_{n+1} - q_n)^2

    In der Aufgabe steht:

    ∑(q_n−q_n+1)2\sum(q\_n - q\_{n+1})^2

    Das ist nicht genau das gleiche, z.B.

    Prelude Data.Ratio> 1/3 - 1/2
-0.16666666666666669
Prelude Data.Ratio> 1/2 - 1/3
0.16666666666666669.
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  • Ich lach mich tot.

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  • V

    nachtfeuer schrieb:

    Arcoth schrieb:

    ∑∞(qn+1−qn)2\sum^\infty (q_{n+1} - q_n)^2

    In der Aufgabe steht:

    ∑(q_n−q_n+1)2\sum(q\_n - q\_{n+1})^2

    Das ist nicht genau das gleiche, z.B.

    Prelude Data.Ratio> 1/3 - 1/2
-0.16666666666666669
Prelude Data.Ratio> 1/2 - 1/3
0.16666666666666669.

    Würde sich diese Tatsache ändern, wenn Du die Differenz auch quadrieren würdest?

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  • ?

    Arcoth: Wie sieht denn eine Reihe aus, die nur für S = {1} konvergiert?

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  • C

    zu Aufgabe 1:
    Mit qn+1=qn±1/nq_{n+1} = q_{n} \pm 1/n hat man schonmal Folgen, die das Kriterium erfüllen und mit denen man unendlich weit auf dem Zahlenstrahl kommen kann.
    Jetzt kann man sich noch überlegen, dass man zwischen qnq_{n} und qn+1q_{n+1} eine beliebige monotone Sequenz ai(n)a^{(n)}_{i} mit q_n<a(n)_1<...<a(n)_k<q_n+1q\_n < a^{(n)}\_1 < ... < a^{(n)}\_k < q\_{n+1} einsetzen kann, ohne die Summe der quadrierten Differenzen zu vergrößern.
    Dann gleichzeitig die qnq_n so wählen, dass immer größere Bereiche grob überdeckt werden und immer feinere ai(n)a^{(n)}_i dazwischenschieben / anheften.

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  • @C14 Genau das habe ich mir auch schon überlegt, es aber aus unerfindlichen Gründen abgetan (Duplikate etc.). Werde ich mal formalisieren.

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