Konvergenz der Transformation einer Funktion

Columbo

Noch eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

<a href= schrieb:

Aufg. 10">Let $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ be a function such that $f(x) x^{-{3\over 4}} \to l$ as $x \to\infty$ . Show that $\sqrt{x+f(x)} - \sqrt x - \frac 1 2 {f(x)\over\sqrt x} \to -{l^2\over 8}$ as $x \to\infty$ .

AFAICS ist $f = \Theta\Big(x^{3\over4}\Big)$ . Wie kann man diese Information nun in den gezeigten Ausdruck einbringen? E.g. teilen durch $x^{1\over4}$ bringt einen bei der Wurzel nicht viel weiter.

Mit der Taylorreihe sqrt(1+y) = 1 + 1/2y - 1/8y^2+ o(y^3) solltest du weiterkommen.

Columbo

Anonym1234 schrieb:

Mit der Taylorreihe sqrt(1+y) = 1 + 1/2y - 1/8y^2+ o(y^3) solltest du weiterkommen.

Yep, hat mir ein Freund gestern auch schon erklärt. Danke!