beweis für integral von f(x) = x^-1

integral(x^-1) ist ln(x)+C
wie ist man darauf gekommen?

Jodocus

Du hast es zwar nicht explizit angegeben, aber trotzdem will ich erst mal anmerken, dass, falls der Definitionsbereich deiner zu integrierenden Funktion $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ist, so lauten die Stammfunktionen $\ln|x|+c,\ c\in\mathbb{R}$ . Warum das so ist, kannst du dir mal alleine überlegen.
Wie man überhaupt auf den Logarithmus gekommen ist? Indem man nach der Ableitung des $\ln$ sucht und dabei die Umkehrregel bemüht.

Jodocus schrieb:

Wie man überhaupt auf den Logarithmus gekommen ist? Indem man nach der Ableitung des $\ln$ sucht und dabei die Umkehrregel bemüht.

soll heißen, dass ein beweis: ln'(x) = 1/x reichen würde, um das integral (1/x) = ln(x)*dx zu beweisen. klingt jedenfalls plausibel. sehe ick das richtig?

Jodocus

seekhelp schrieb:

Jodocus schrieb:

Wie man überhaupt auf den Logarithmus gekommen ist? Indem man nach der Ableitung des $\ln$ sucht und dabei die Umkehrregel bemüht.

soll heißen, dass ein beweis: ln'(x) = 1/x reichen würde, um das integral (1/x) = ln(x)*dx zu beweisen. klingt jedenfalls plausibel. sehe ick das richtig?

Genau, der Fundamentalsatz der Analysis garantiert dir das.

Jodocus schrieb:

Genau, der Fundamentalsatz der Analysis garantiert dir das.

viele dank!

man kann mit exp(ln(x))=x beginnen, dann beide seiten ableiten, usw. habe es gerade ergoogelt.

Bashar

Falls die Frage historisch gemeint war: Damals hatte man diese Werkzeuge noch nicht zur Verfügung.

https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_logarithms#Natural_logarithm

Wikipedia schrieb:

In 1649, Alphonse Antonio de Sarasa, a former student of Grégoire de Saint-Vincent, related logarithms to the quadrature of the hyperbola, by pointing out that the area A(t) under the hyperbola from x = 1 to x = t satisfies

$A(tu) = A(t) + A(u)$