Fourier-Reihen
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Ich beschäftige mich gerade etwas mit Fourierreihen und lese gerade den Papula.
Was mich bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten verwundert hat, ist eine Vorgehensweise, dessen Sinn nicht weiter erklärt wird:
Berechnung der Fourierkoeffizienten (n = 1, 2, 3, ...)
Wir multiplizieren die Fourier-Reihe zunächst mit cos(mx) (m N) und integrieren anschließend wiederum gliedweise über das Periodenintervall (0, 2π):
Weshalb wird da "einfach so" mit cos(mx) multipliziert? Bei der Berechnung von von den Fourierkoeffizienten wird mit sin(mx) multipliziert. Es wird jedoch nicht weiter darauf eingegangen, weshalb man das nun so macht.
Jemand eine Idee?
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Die Menge der 2pi-periodischen, reellwertigen Funktionen bilden einen Vektorraum. Das Produkt von zwei Funktionen gefolgt von der Integration von 0 bis 2pi kannst Du als Skalarprodukt verstehen. Unter diesem Skalarprodukt bilden sin(mx) für m>=1 und cos(mx) für m>=0 zusammen eine orthogonale Basis des Vektorraums. Das Skalarprodukt zwischen einer beliebigen Funktion mit einem dieser Basisvektoren gibt dir an, wie "stark" dieser Basisvektor in der Funktion "vertreten" ist. Die Orthogonalitätseigenschaft der Basis macht dies so einfach.
Was für Dich auch interessant sein könnte ist folgendes:
sin(mx + a) = cos(a)*sin(mx) + sin(a)*cos(mx)
Du kannst also einen beliebigen Phasenshift a der Frequenz m als Überlagerung zweier um 90° verschobener Wellen darstellen.
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Hi,
darf ich fragen, was du studiert hast? Das ist glaube ich nicht das, was man klassischerweise im Informatik- oder Ingenieurs-Studium lernt. Ich merke da meine eigene Unzufriedenheit, wenn ich eben bspw. Papula lese.
Skalarprodukte habe ich auch schon hier und da verwendet, aber so wurde uns das nie vermittelt.
Hast du eine Literaturempfehlung bzgl. dieser Thematik?
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Forster oder Amann-Escher.
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Kenner des Fourier schrieb:
Forster oder Amann-Escher.
Amann-Escher klingt gut, danke!
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Die "natürlichere" Schauder-Basis von L²[0,2\pi] ist übrigens exp(ki\pi), k = 0, ..., \infty.
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Sollte heißen:
Die "natürlichere" Schauder-Basis von L²[-\pi,\pi] ist übrigens exp(ki\pi), k \in \mathbf{Z}.
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Forster sowie Amann-Escher sind beides keine guten Bücher, schon gar nicht für Nicht-Matematiker, weil diese die Mathematik nach der Schule von Bourbaki lehren. Bourbaki ist für Mathematiker, sowie Theoretische Physiker ausgezeichnet, für alle anderen ist das schlecht!
Wenn du ein Buch haben möchtest das richtig gut ist, dann hol dir den Fichtenholz oder den Heuser.
Zur Frage: Es ist genau so wie krümelkacker gesagt hat. Wenn dir das unklar ist, dann mache dir doch mal als ersten Schitt klar das du es tatsächlich mit einer Basis zu tun hast (Linearkombination Null setzen).
Wenn du "Ingenieursmathe" im Stil des Papula, aber besser haben möchtest, würde ich dir den Arens empfehlen und zur Übung des ganzen die gelben Rechenbücher.
Gruß
p.s.
Was mir gerade einfällt. Solltest du etwas physikalisches Verständnis haben kann man sich die Theorie der Fourier Reihen wunderbar am Kastenpotential in der QM herleiten. Alternativ den historisches Zugang wie Fourier das machte als er Wärmeausbreitung untersuchte. Eine schöne Darstellung findet man in den tollen Büchern von Sommerfeld.
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cpp_Jungspund schrieb:
Wenn du ein Buch haben möchtest das richtig gut ist, dann hol dir den Fichtenholz oder den Heuser.
Danke, die Empfehlungen klingen wirklich gut!
Konnte bei amazon schon mal reinschnuppern.Zur Frage: Es ist genau so wie krümelkacker gesagt hat. Wenn dir das unklar ist, dann mache dir doch mal als ersten Schitt klar das du es tatsächlich mit einer Basis zu tun hast (Linearkombination Null setzen).
Ja, macht Sinn.
Wenn du "Ingenieursmathe" im Stil des Papula, aber besser haben möchtest, würde ich dir den Arens empfehlen und zur Übung des ganzen die gelben Rechenbücher.
Davon will ich wegkommen.
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ShadowClone schrieb:
Das ist glaube ich nicht das, was man klassischerweise im Informatik- oder Ingenieurs-Studium lernt.
In einem Informatikstudium sollte so etwas vermittelt werden. Es ist aber natürlich so, dass man mehrere Quellen zum Lernen nutzen sollte, um unterschiedliche Blickwinkel auf eine Thematik kennen zu lernen. Dir wurden hier schon einige gute Bücher genannt. Vielleicht wäre für Dich auch ein Buch über Signalverarbeitung oder Systemtheorie interessant. Das ist im Wesentlichen von vorne bis hinten Fourier-Analysis. Ich habe zu diesen Themen damals die Bücher da gelesen:
Einführung in die Systemtheorie | ISBN: 3835101765
und
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Danke.
Wir hatten im Bachelor Fourierreihen in Mathematik gestrichen bekommen. Dafür kam es dann in "Technische Grundlagen der angewandten Informatik", Bildverarbeitung und Multimedia dran. Im Master lernen wir es erstmals in Numerik. Da aber für Numerik nur 3 ECTS angesehen sind, wird es entsprechend stiefmütterlich behandelt. Man muss nicht mal Übungen abgeben, sondern irgendwie die mündliche Prüfung bestehen.
Will sagen: Es wurde irgendwie schon behandelt, aber man musste in keiner Prüfung damit rechnen. Man hat höchstens ein FFT in MatLab oder Python angewendet. Wobei ich sagen muss, dass ich an der FH studiere. Aber soweit ich weiß, wird das an vielen Unis auch nicht mehr so richtig unterrichtet.
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Hi
ShadowClone schrieb:
Man hat höchstens ein FFT in MatLab oder Python angewendet.
Anhand der schnellen FT kann man die Gundlagen der Fouriertheorie auch gut erlernen und hat gleichzeitig noch ein gutes Beispiel für einen Teile-und-Herrsche Ansatz.
ShadowClone schrieb:
wird das an vielen Unis auch nicht mehr so richtig unterrichtet.
Dem ist nicht so.
Grüße
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ShadowClone schrieb:
Hi,
darf ich fragen, was du studiert hast?Klar! Informatik mit Nebenfach Mathematik. Buchtipps für diesen Bereich habe ich leider nicht parat.
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ShadowClone schrieb:
Hi,
darf ich fragen, was du studiert hast? Das ist glaube ich nicht das, was man klassischerweise im Informatik- oder Ingenieurs-Studium lernt.Als jemand der Informatik studiert hat, muss ich sagen, dass uns solche Dinge durchaus vermittelt wurden. So etwas wie das Skalarprodukt wurde z.B. erst nach einem längeren Umweg über Vektorräume im Allgemeinen als Definition über beliebigen Vektorräumen eingeführt - also zuerst nachdem man uns von der 2D/3D-Vektor-Vorstellung der Schulmathematik befreit, und uns klar gemacht hat, dass auch eine ganze Reihe anderer Mathematischer Objekte wie Funktionen "Vektoren" sein können und Mengen von diesen Räume aufspannen können.
Allerdings muss ich auch zugeben, dass ich an einer Uni studiert habe, und ich weiss aus Gesprächen mit Freunden dass es bei uns wesentlich theoretischer und mathematischer zuging als beispielsweise an einer FH.
Buchempfehlungen habe allerdings leider auch keine - gelernt habe ich seinerzeit aus dem Skript (leider kein Lehrbuch, eher ein Nachschlagewerk zu Sätzen und Definitionen), Übungen und aus eigener Netzrecherche.
Übrigens: Die Videos der Khan Academy zu mathematischen Themen sind auch immer wieder extrem lehrreich und gut verständlich. Villeicht schaust du da mal rein, wenn du Probleme hast ein Thema zu verstehen - da gibt es garantiert auch etliche über Fourier-Reihen und verwandte Themengebiete die das Verständnis erleichtern.
Finnegan
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Finnegan schrieb:
Allerdings muss ich auch zugeben, dass ich an einer Uni studiert habe, und ich weiss aus Gesprächen mit Freunden dass es bei uns wesentlich theoretischer und mathematischer zuging als beispielsweise an einer FH.
Zum Teil war es bei uns auch recht theoretisch. Wir hatten z. B. so etwas wie Ringe, Halbraum, Raum, und ein Skalarprodukt wurde auch mit zwei Formeln allgemein definiert, aber trotzdem hat man uns nicht beigebracht, dass das auch mit allen möglichen Funktionen geht. Das hatte ich erst in maschinellem Lernen gelernt.
Ich werde da evtl. einiges nachholen, wenn ich die Zeit dazu habe.Danke, für die Empfehlung.
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ShadowClone schrieb:
Aber soweit ich weiß, wird das an vielen Unis auch nicht mehr so richtig unterrichtet.
das ist doof. auch unis setzen inzwischen schwerpunkte, um der wirtschaft fix absolventen zu liefern, die möglichst früh produktiv werden können. dabei bleibt leider einiges auf der strecke. der wissenszuwachs, gerade in technischen fächern, ist immens. so kann man in der regelstudienzeit vieles sowieso nur rudimentär anschneiden. es bleibt also dem persönlichen interesse des einzelnen überlassen, ob er irgendwas vertieft.
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swapper schrieb:
ShadowClone schrieb:
Aber soweit ich weiß, wird das an vielen Unis auch nicht mehr so richtig unterrichtet.
das ist doof. auch unis setzen inzwischen schwerpunkte, um der wirtschaft fix absolventen zu liefern, die möglichst früh produktiv werden können. dabei bleibt leider einiges auf der strecke. der wissenszuwachs, gerade in technischen fächern, ist immens. so kann man in der regelstudienzeit vieles sowieso nur rudimentär anschneiden. es bleibt also dem persönlichen interesse des einzelnen überlassen, ob er irgendwas vertieft.
Bei Mathevorlesungen, die man im Rahmen eines Informatikstudiums hört, handelt es sich nicht um Vertiefungsgebiete. Es sind verpflichtende Grundlagenvorlesungen.
Fourier-Analysis begegnet einem in einem Informatikstudium mehrfach. Mir ist es in der Analysis Vorlesung, einer Vorlesung zur Technischen Informatik, einer Vorlesung zu Systemtheorie, einer Vorlesung zu Bildverarbeitung und vielleicht noch in weiteren Vorlesungen (Stochastik?) begegnet.