Klammern um lineare Funktionen drum herum

Hallo
f sei eine lineare Funktion
a,b, seien Körperelemente

((ab)f)(v) = (ab)f(v) = a(bf(v)) = (a(bf))(v)

Kann mir jemand erklären, warum ich die Klammern so setzen darf?

Bashar

erstes Gleichheitszeichen: Definition der Skalarmultiplikation für Abbildungen
zweites Gleichheitszeichen: Assoziativität im Körper
drittes Gleichheitszeichen: Zweimal die Definition der Skalarmultiplikation für Abbildungen: a(bf(v)) = a((bf)(v)) = (a(bf))(v) =

Das zweite Gleichheitszeichen ist die Assoziativität der Skalarmultiplikation im Vektorraum, da f kein Körperelement sondern ein Element des Vektorraums (Homomorphismenraums)ist.

Es geht um die Assoziativität der Vektormultiplikation im Vektorraum.
Jetzt tut's flutschen

((ab)f)(v) = (ab)f(v) Definition der Skalarmultiplikation
           = a(bf(v)) Assoziativität im Vektorraum
           = a((bf)(v))Definition der Skalarmultiplikation
           = a(bf)(v)Assoziativität im Vektorraum
           = (a(bf))(v)Assoziativität im Vektorraum

Also (ab)f = a(bf)

Danke für den entscheidenden, hilfreichen Hinweis

Bashar schrieb:

erstes Gleichheitszeichen: Definition der Skalarmultiplikation für Abbildungen

Hatte die Bäume vor lauter Wald nicht mehr gesehen.

Bashar

kkllaammeerrnn schrieb:

Das zweite Gleichheitszeichen ist die Assoziativität der Skalarmultiplikation im Vektorraum, da f kein Körperelement sondern ein Element des Vektorraums (Homomorphismenraums)ist.

Der erste Teil ist richtig, die Begründung nicht. Ich will das jetzt nicht in großer Prosa ausbreiten, deshalb müssen wir mal ein bisschen Notation festlegen.

Sei V ein K-Vektorraum, X eine Menge und f : X -> V irgendeine Abbildung (es ist für die Aussage nicht nötig, dass f linear ist).

Wir können Abb(X, V) punktweise mit einer Vektorraumstruktur versehen.

Dann ist das zweite Gleichheitszeichen, also (ab)f(v) = a(bf(v)), die Assoziativität der Skalarmultiplikation in V. Nicht weil f kein Körperelement ist, sondern weil f(v) kein Körperelement ist.

Insgesamt geht es darum, die Assoziativität der Skalarmultiplikation in Abb(X,V) zu zeigen, d.h. dass a(bf) = (ab)f ist.

Es geht um die Assoziativität der Vektormultiplikation im Vektorraum.

Eine Vektormultiplikation gibt es überhaupt nicht.

Bashar

Jetzt muss ich das auch mal noch kommentieren. Da stimmt nämlich nicht alles.

kkllaammeerrnn schrieb:

Jetzt tut's flutschen

((ab)f)(v) = (ab)f(v) Definition der Skalarmultiplikation (1)
           = a(bf(v)) Assoziativität im Vektorraum              (2)
           = a((bf)(v))Definition der Skalarmultiplikation      (3)
           = a(bf)(v)Assoziativität im Vektorraum               (4)
           = (a(bf))(v)Assoziativität im Vektorraum             (5)

Also (ab)f = a(bf)

Mit den Notationen aus dem Vorposting:
(1) Skalarmultiplikation in Abb(X,V)
(2) Assoziativität der Skalarmultiplikation von V
(3) Skalarmultiplikation in Abb(X,V)
(4) Gar nichts, du hast nur ohnehin überflüssige Klammern weggelassen.
(5) Skalarmultiplikation in Abb(X,V)

Bashar schrieb:

(4) Gar nichts, du hast nur ohnehin überflüssige Klammern weggelassen.

Einverstanden.
Ja, das habe ich Assoziativität(Man kann Klammern hinzufügen und wieder entfernen.) genannt.

Bashar schrieb:

(5) Skalarmultiplikation in Abb(X,V)

Stimmt, (v) ist kein Faktor,das habe ich verbockt.

Danke