4. Beweis Fibonacci Zahlen / Ungleichung

Beweis Fibonacci Zahlen / Ungleichung

  • I

    Hey,

    wir sollen beweisen, dass

    Fn+1≥(1+52)n−2F_{n+1} \ge (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2} gilt (Behauptung der vollständigen Induktion). Naja ich hab ewig mit Potenz und Wurzelgesetzen rumprobiert, hab dann nachgefragt und den Tipp hier bekommen:

    Fn−1+Fn≥(1+52)n−3+(1+52)n−3(1+52)F_{n-1}+F_{n} \ge (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-3} + (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-3}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})
    Jetzt bin ich wieder am Rumprobieren und kriegs einfach nicht hin. Hab das hoch n-3 ausgeklammert, komm nicht weiter. Durch den letzten Bruch geteilt, komm nicht weiter. Wurzel ziehen bringt ja auch nichts. Das soll man irgendwie vereinfachen können, dass da am Ende so ne schöne wahre Aussage rauskommt. Kann mir jemand helfen?

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  • C

    Hi,
    schreib einfach mal auf, was du im Induktionsschritt zeigen willst.
    Kürz dabei am besten erstmal 1+52=a\frac{1+\sqrt{5}}{2} = a ab.
    Dann überlege, wann die Ungleichung erfüllt ist. Vereinfache zu einer Ungleichung mit a, in der kein n mehr vorkommt. Dann erst a einsetzen.

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  • I

    Erstmal danke für die Rückmeldung. Aber ich kriegs trotzdem nicht hin. Was zu zeigen ist, steht da ja schon. Wann die Ungleichung erfüllt ist? Naja, wenn links halt größer gleich rechts ist. Ich verstehe nicht so recht, was du meinst. Und auch wenn ich den Bruch durch a substituiere, wie bekomme ich dann das n "weg"? Ich könnte a^-3 ausklammern und a^n als Produkt aufschreiben, aber was bringt mir das? a^n kann ich ja nicht weiter vereinfachen... 😕

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  • C

    In deinem ersten post passt was in dem was du zeigen sollst und dem Tipp nicht zusammen.
    Ich nehme mal an, du sollst Fn≥an−3F_n \geq a^{n-3} zeigen. (mit an−2a^{n-2} geht's völlig analog)
    Also willst du im Induktionsschritt zeigen, dass Fn+1≥an−2F_{n+1} \geq a^{n-2} , mit Fn+1=F_n+F_n−1≥an−3+an−4F_{n+1} = F\_n + F\_{n-1} \geq a^{n-3} + a^{n-4}.
    Das gilt, wenn an−3+an−4≥an−2a^{n-3} + a^{n-4} \geq a^{n-2}. Jetzt mal durch an−2a^{n-2} teilen...

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  • I

    Ach natürlich, ich hab gar nicht daran gedacht, das Fn durch a irgendwie zu ersetzen, dankeschön! Ja, das sollte Fn+1≥(1+52)n−1F_{n+1} \ge (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} heißen, Entschuldigung. Boa das war mal ne schwere Geburt 🙄 🙂

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  • I

    Moment. Also ich hab jetzt mal so weitergerechnet (mit a=1+52)a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}))

    Annahme: Fn≥an−2F_{n} \ge a^{n-2}
    Behauptung: Fn+1≥an−1F_{n+1} \ge a^{n-1}
    Beweis:

    F_{n-1}+F_{n} \ge a^{n-3}+a^{n-2} \\ a^{n-1} \le a^{n-3}+a^{n-2} \\ 1 \le a^{-2} + a^{-1} \\ 1 \le 1
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  • I

    Hat echt keinen einen Tipp? Es muss sich um einen wirklich simplen Fehler handeln..

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  • C

    Ja, nur leider bringt dir das mit minus nichts, weil du die Gleichung mit plus dastehen hast.
    Stattdessen solltest du erstmal an−3/an−1a^{n-3} / a^{n-1} richtig ausrechnen.

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  • I

    Ach mann. Passiert das nur mir oder verschwendet man andauernd seine Zeit mit völlig vermeidbaren, unproduktiven Flüchtigkeitsfehlern? Kann man da was gegen machen? 🙄 Dankeschön

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