4. Rechnen mit Fakultäten

Rechnen mit Fakultäten

  • I

    Hey,
    ich soll zeigen, dass ∑k=1∞(k!)2(2k)!\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{(k!)^{2}}{(2k)!} konvergiert. Ich habe das Quotientenkriterium angewendet (abs(Folge+1 / Folge) < 1 -> konvergent), aber ich komme mit den Umformungen nicht klar:

    \frac{((k+1)!)^{2}(2k)!}{(2(k+1))!(k!)^{2}}\\ \frac{(k+1)^{2}(2k)!}{(2k+2)!}

    Wie formt man denn jetzt weiter um? Oder kann ich einfach sagen dass der Nenner eh immer größer ist und basta (also konvergent)?

    Bei der nächsten Aufgabe komm ich auch nicht weiter. Hab das Wurzelkriterium angewendet.

    ∑k=1∞kkk!\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{k^{k}}{k!}
    Wurzelkriterium:

    \lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{\frac{k^{k}}{k!}}\\ \frac{k}{\sqrt[k]{k!}}

    \lim\limits_{k \to \infty}\frac{k}{\sqrt[k]{k!}} = \infty

    Kann ich jetzt auch einfach ohne wirklichen Beweis sagen, dass k stärker ansteigt als diese Wurzel? Wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnte.

    Edit: Und kennt jemand einen einfachen (online) Latex-Editor? Es dauert jedesmal ewig, ein paar einfache Formeln hier reinzutippen.

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  • J

    Incocnito schrieb:

    Oder kann ich einfach sagen dass der Nenner eh immer größer ist und basta (also konvergent)?

    Nee, ist er ja bei n/(n+1) auch.
    Aber (2k)! und (2k+2)! lässt sich doch super kürzen!?

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  • I

    Jockelx schrieb:

    Nee, ist er ja bei n/(n+1) auch.
    Aber (2k)! und (2k+2)! lässt sich doch super kürzen!?

    Ja dachte ich auch, aber wie denn?? Ich hab echt keinen Dunst wie, hab sogar (2k)!/(2k+2)! mal ausgerechnet und komme mit Wolfram Alpha auf 2(2k^2-k), aber wie kommt man darauf?

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  • J

    (2k+2)! = 1 * 2 * 3 ... (2k-1) * 2k * (2k+1) * (2k+2)

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  • I

    Ah ok. Also kommt dann raus (k+1)^2/((2k+1)(2k+2)) und da Zähler < Nenner ist das ab k > ein k0 irgendwann < 1 und somit konvergiert das Ganze. Dankeschön. Und hast du eine Idee, was ich bei der zweiten Aufgabe machen kann? Wie kann ich zeigen, dass der Zähler schneller wächst als der Nenner?

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  • J

    Nee, lass mal dieses 'Zähler kleiner Nenner' weg!
    Ich würde es ausmultiplizieren, dann k^2 raus kürzen und dann hast du ein echtes 'q' (oder wie auch immer) < 1.

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  • J

    Incocnito schrieb:

    Und hast du eine Idee, was ich bei der zweiten Aufgabe machen kann? Wie kann ich zeigen, dass der Zähler schneller wächst als der Nenner?

    Zeige per Induktion, dass k!≤kkk!\le k^k und argumentiere dann, dass die Folge (kkk!)k∈N\left(\frac{k^k}{k!}\right)_{k\in\mathbb{N}} keine Nullfolge ist.

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  • I

    @Jockelx: Jo stimmt, hab jetzt 1/2 für q, dankeschön 🙂

    @Joducus: Okay, also mache ich

    Anfang:\quad 0! \le 0^{0} = 1 \le 1\\ Annahme:\quad k! \le k^{k}\\ Behauptung:\quad (k+1)! \le (k+1)^{k+1}\\ Beweis:\quad (k+1)k! \le (k+1)^{k}(k+1)\\ k! \le (k+1)^{k}

    Ähmm.. und jetzt? 😕

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  • J

    Incocnito schrieb:

    @Jockelx: Jo stimmt, hab jetzt 1/2 für q, dankeschön 🙂

    @Joducus: Okay, also mache ich

    Anfang:\quad 0! \le 0^{0} = 1 \le 1\\ Annahme:\quad k! \le k^{k}\\ Behauptung:\quad (k+1)! \le (k+1)^{k+1}\\ Beweis:\quad (k+1)k! \le (k+1)^{k}(k+1)\\ k! \le (k+1)^{k}

    Ähmm.. und jetzt? 😕

    Deine Induktionsannahme ist nur für einen Induktionsschritt n+1→n+2n+1\to n+2 korrekt. Sie sollte besser mit der eigentlichen Behauptung übereinstimmen. Dann fängst du auf der einen Seite an, wendest die Induktionsannahme an schätzt sie ab.

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