Ungleichung beweisen

Hallo

${\Large \sum_{k=0}^{n}\binom{m}{k}\frac{1}{m^k} \geq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \left ( \frac{m-n}{m} \right )^n }$

Wer kann mir verraten, warum die Ungleichung gilt?

Ich kann die Ungleichung termweise auf $(1-\frac{k}{m})^k \geq (1-\frac{n}{m})^n$ mit $0 \leq k \leq n$ zurückführen. Das sieht nach einer Standardungleichung aus, die im Zusammenhang mit der e-Funktion auftritt.

Vielleicht kann man mit Differentialrechnung zeigen, dass $x \mapsto (1-\frac{x}{m})^x$ monoton wachsend ist. Oder ohne Differentialrechnung.

Ich meinte: monoton fallend.

mathematikpraktikant schrieb:

Wer kann mir verraten, warum die Ungleichung gilt?

Setz doch Zahlen ein, z.B. m=2, n=1, k=1, etc.

SeppJ

lkml schrieb:

mathematikpraktikant schrieb:

Wer kann mir verraten, warum die Ungleichung gilt?

Setz doch Zahlen ein, z.B. m=2, n=1, k=1, etc.

Meld dich, wenn du alle möglichen Kombinationen durchprobiert hast.

Finnegan

SeppJ schrieb:

Meld dich, wenn du alle möglichen Kombinationen durchprobiert hast.

"Alle Zahlen einsetzen" ist durchaus ne gängige Beweismethode, und ohne mir das Problem jetzt genauer angesehen zu haben,
springt es mir hier geradezu ins Gesicht, es einmal mit Vollständiger Induktion zu versuchen

Finnegan schrieb:

SeppJ schrieb:

Meld dich, wenn du alle möglichen Kombinationen durchprobiert hast.

"Alle Zahlen einsetzen" ist durchaus ne gängige Beweismethode, und ohne mir das Problem jetzt genauer angesehen zu haben,
springt es mir hier geradezu ins Gesicht, es einmal mit Vollständiger Induktion zu versuchen