Funktionsgleichung aus Laplace Entwicklungssatz

[axels.]

Hallo,
weiß jemand ob man mithilfe des Laplace Entwicklugssatzes einer Determinanten des Grad n, bestehenen aus n Stützstellen einer Funktion,
eine Funktion des Grads n-1 rekonstruieren kann, wie es auch mit dem Gauß-Eliminationsverfahren geht?

[cpp_Jungspund]

Formuliere dich bitte etwas genauer...

www.youtube.com/watch?v=x40XnMGI75M

[axels.]

Naja Funktionsgleichungen mit dem Grad 2 lassen sich ja durch drei Gleichungen mit jeweils drei Unbekannten bestimmen

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

a1  b1  c1 | d1
a2  b2  c2 | d2
a3  b3  c3 | d3

Dabei lassen sich die werte für x1, x2 und x3 ja mithilfe von vier Derterminanten und der Regel von Sarrus bestimmen.

Sprich bildet sich

| a1  b1  c1 |
D = | a2  b2  c2 |
    | a3  b3  c3 |

     |d1 b1 c1 |
D1 = |d2 b2 c2 |
     |d3 b3 c3 |

etc. bis D3

Geht das gleiche Prinzip auch mit dem Laplace-Entwicklungssatz,
sprich das ich D, D1 etc. ebenfalls so aufbaue und bestimme?

Erweiterete Koeffizientenmatrix für 4x4

| a1 b1 c1 d1 | e1
| a2 b2 c2 d2 | e2
| a3 b3 c3 d3 | e3 
| a4 b4 c4 d4 | e4

Demnach ergäben sich folgende Derterminanten

|a1 b1 c1 d1 |
    |a2 b2 c2 d2 |
D = |a3 b3 c3 d3 |
    |a4 b4 c4 d4 |

     |e1 b1 c1 d1 |
     |e2 b2 c2 d2 |
D1 = |e3 b3 c3 d3 |
     |e4 b4 c4 d4 |

... bis D4

Diese Determinanten würden dann Entwickelt werden und äquvivalent wie bei 3x3 LGS die x1, x2, x3, x4 werte bestimmt

Sprich

x1 = D1 / D

x2 = D2 / D

x3 = D3 / D

x4 = D4 / D

Ist das von mir zu naiv gedacht oder ist es wirklich so einfach?
Demnach liese sich ja damit auch Matrizten von der Größe nxn berechnen.

[hgfhfghfh]

wenn du ein Polynom der From y=a+b*x+c*x^2 hast, so brauchst du drei verschiedene (x,y) Paare um die Koeffizienten a,b,c zu bestimmen.

Also nehmen wir an, du hast die Paare (x0,y0), (x1,y1) und (x2, y2) gegeben.
Dann sieht dein LGS so aus:

/1 x0 x0^2\   /a\   /y0\
|1 x1 x1^2| * |b| = |y1|
\1 x2 x2^2/   \c/   \y2/

Das von dir angegebene Verfahren zum Lösen von LGS, nämlich die Cramersche Regel ("D1/D"), ist eine Möglichkeit. Es gibt aber noch andere Möglichkeiten.

Falls du nun ein Polynom höheren Grades verwendest, so brauchst du mehr (x,y) Paare zur Berechnung. Z.b. im Falle y=a+b*x+c*x^2+d*x3 brauchst du vier Paare.
Die Matrix hat somit die Größe 4x4.
Du kannst natürlich wieder die Cramersche Regel verwenden zum Lösen. Da die Matrizen nun 4x4 sind, kannst du den Laplace Entwicklugssatzes verwenden um die Determinate zu bestimmen.
Aber ansonsten ändert sich nichts.

Das kannst du beliebig fortsetzen für immer höheren Polynomgrad. Es wird halt aufwendig, die Determinanten (mit Laplace Entwicklungssatz) zu bestimmen, aber grundsätzlich ist das natürlich für beliebig große Matrizen möglich.

Zwei Hinweise noch:
1. die sich ergebende Matrix hat ein gewisses Schema und heißt Vandermonde-Matrix: https://de.wikipedia.org/wiki/Vandermonde-Matrix
2. das Lösen eines LGS kannst du z.B. auch mit dem Gauß Algorithmus machen oder mit darauf aufbauenden, cleveren Algorithmen