e-Funktion - es kann nur eine geben - Brett vor dem Kopf!

[bumaruka]

Die Funktion f soll differenzierbar sein und es soll f = f' gelten.
Man kann zeigen, dass es mit diesen Voraussetzungen eine reelle Zahl c gibt, sodass f = c•exp ist.

Wie kann man daraus schließen, dass die Funktion exp die einzige differenzierbare Funktion f mit f = f' und f(0) = 1 ist?

[digganigga]

bumaruka schrieb:

Die Funktion f soll differenzierbar sein und es soll f = f' gelten.
Man kann zeigen, dass es mit diesen Voraussetzungen eine reelle Zahl c gibt, sodass f = c•exp ist.

Wie kann man daraus schließen, dass die Funktion exp die einzige differenzierbare Funktion f mit f = f' und f(0) = 1 ist?

f(0) = c•exp(0) → c = 1 also f = exp

[zufallswert]

`

f = f' =>

f' / f = 1 =>

log f = 1

`

integrieren auf beiden Seiten; wegen d/dx (const) = 0 nur bis auf additive Konstante c eindeutig:

`

log f(x) = x + c =>

f(x) = exp(x+c) =>

f(x) = exp(x) * exp(c) => 0 einsetzen für x:

f(0) = exp(0) * exp(c) = exp(c)

`

Aus f(0) = 1 und exp(0) = 1 folgt exp(c) = 1, also c = 0.

also f(x) = exp(x), quodlicet jovi (oder wie das heißt)

[zufallswert]

dritte Zeile ("log f = 1") weglassen!