Beschränktheit zeigen

Incocnito

Hallo,
ich hab hier die rekursiv definierte Folge

$a_{1} := 1, a_{n+1} = \sqrt{1+2a_{n}}$

Man soll zeigen, dass die Folge < 3 (beschränkt) ist, sowie Monotonie nachweisen und den Grenzwert bestimmen.
Monotonie klappt super mit Induktion

Induktionsanfang: a_{1} < a_{2} \\1 < \sqrt{3}

Induktionsvoraussetzung: $a_{n} < a_{n+1}$
Induktionsbeweis/Induktionsbehauptung:

a_{n+1} < a_{n+2}\\ \sqrt{1+2a_{n}} < \sqrt{1+2a_{n+1}} \quad|()^2\\ 1+2a_{n} < 1+2a_{n+1}\\ a_{n} < a_{n+1}

Das klappt super, weil unten jetzt wieder die Voraussetzung steht. Aber diese Beschränkheit krieg ich nicht hin:

Induktionsanfang: a_{1} < 3 \\1 < 3

Induktionsvoraussetzung: $a_{n} < 3$
Induktionsbeweis/Induktionsbehauptung:

a_{n+1} < 3\\ \sqrt{1+2a_{n}} < 3 \quad|()^2\\ 1+2a_{n} < 9\\ a_{n} < 4

Da steht unten nicht mehr die Voraussetzung. Was mache ich falsch

a\_n < 3 \implies 1+2a\_n < 1 + 2\cdot3 = 1 + 6 = 7 \implies a_{n+1} < \sqrt{7} < \sqrt{9} = 3

Übrigens ist dein Beweis der Monotonie falsch.

Es geht so: Es ist $a_n \geq 1$ (zeigen!). Daher ist a\_n < a\_{n+1} = \sqrt{1+2a\_n} \iff a\_n^2 < 1+2a\_n \iff (a\_n-1)^2 a\_n^2-2a\_n+1 < 1+1 = 2 \iff a\_n-1 < \sqrt{2} \iff a\_n < 1+\sqrt{2} Und jetzt ist a\_n < 1+\sqrt{2} \implies a\_{n+1} = \sqrt{1+2a_n} < \sqrt{1+2(1+\sqrt{2})} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}

Dabei gilt die letzte Gleichheit wegen \sqrt{3+2\sqrt{2}}^2 = (1+\sqrt{2})^2 \iff 3+2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2

Incocnito

Ahh, super, danke. Kann man das denn nicht mit Induktion zeigen? Ich verstehe nicht, wieso der Monotoniebeweis falsch sein soll, es passt doch alles..

Incocnito

Seh ich das richtig, dass man Monotonie im Allgemeinen ohne Induktion zeigt, und Beschränkheit mit? Oder brauch man die gar nicht?

Mein Beweis ist ein Induktionsbeweis.