Stochastik: Würfelergebnis, Wahrscheinlichkeit mehrmaliger Würfe

Hast du noch Fragen?

soll mit 2[n] Würfeln 3[m] mal erzielt werden. Wie viele Würfe

> [w] benötige ich, damit dies mit 90-prozentiger [p] Wahrscheinlichkeit eintritt?

Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine 7 zu würfeln liegt bei 1/6

also:
(n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 90

Wer möchte das mal nach n umformen?

Schlangenmensch

Das wäre doch die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen genau 3 mal eine 7 zu Würfeln, oder? Ein kurzer Plot der Funktion zeigt auch, dass es keine Lösung für P=0,9 in dem Fall gibt.

Sinnvoller wäre doch die Frage, wie häufig muss gewürfelt werden um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens dreimal eine 7 zu würfeln.

Also gefragt war ja, wie oft man würfeln muss um mit 90%ziter Wahrscheinlichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln. Da kann man genau 3 mal oder mindestens 3 mal draus interpretieren.

Für genau 3 mal: (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9

Dafür sollte es auch ein Lösung geben. Nur, wie kommt man an n?

Für mindestens 3 mal müsste man wohl die kumulierte Binomialverteilung von 3 bis n mal berechnen. Also:

(n!/(3!(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9
+ (n!/(3 + 1!(n-3+1)!)) * (1/6)^(3+1) * (5/6)^(n-3+1) = 0,9
+ (n!/(3 + 2!(n-3+2)!)) * (1/6)^(3+2) * (5/6)^(n-3+2) = 0,9
+ ....
bis + (n!/(n!(n-n)!)) * (1/6)^(n) * (5/6)^(n-n) = 0,9

Das erscheint mir noch komplizierter.

> Dafür sollte es auch ein Lösung geben.

Ich hab jetzt mal ein Rechner bemüht:

bei 3 Würfen leigt die Wahrscheinlichkeit bei 0.46%
bei 15 bei 23.63%
bei 18 bei 24.52
bei 20 bei 23.79%
bei 25 bei 19.29%
bei 30 bei 13.68%
bei 100 bei 0.00156%

Könnte man jetzt also für n 3; 4; 5; 6 usw. eingeben, die Wahrscheinlichkeiten addierten, bis man bei 90% wäre, um zu wissen, wie oft man würfeln muss um mit 90%zitiger Wahrscheinlichkeit 3 mal die 7 zu Würfeln? Bei 12 mal würfeln kommt man so auf 94,85%

> Nur, wie kommt man an n?

Die Frage, die mich am meisten interessiert, ist ob man (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9 nach n auflösen kann.

> Bei 12 mal würfeln kommt man so auf 94,85%

Bei 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, also bei 75 mal

> Könnte man jetzt also für n 3; 4; 5; 6 usw. eingeben, die Wahrscheinlichkeiten
> addierten, bis man bei 90% wäre, um zu wissen, wie oft man würfeln muss um mit
> 90%zitiger Wahrscheinlichkeit 3 mal die 7 zu Würfeln?

Das geht wohl so nicht.

Grundsätzlich fragt sich auch % von was? Denn je häufiger gewürfelt wird, desto wahrscheinlicher ist es ja, dass 3 mal eine 7 gewürfelt wird.

Wenn 3 mal gewürfelt wird, besteht nur einmal die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln und rund 217 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

Wenn 100 mal gewürfelt wird, besteht 161700 die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln, aber es bestehet auch rund 10360000000 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln

Im Vergleich zu 3 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln also

bei 100 mal würfeln bei 161700/1
bei 9 mal würfeln bei 84/1
bei 10 würfeln bei 120/1

Bei 9 mal würfeln sollte die Wahrscheinlichkeit also bei 84% gegenüber 3 mal würfeln liegen und bei 10 mal bei 120% gegenüber 3 mal

> Wenn 100 mal gewürfelt wird, besteht 161700 die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln,
> aber es bestehet auch rund 10360000000 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder
> keinmal eine 7 zu würfeln

Da fehlen aber die 4 – 100 mal 3 mal eine 7 zu würfeln

Mit der kumulierten Binominalverteilung kommt man bei 31 Würfen auf eine Wahrscheinlichkeit von 90,94% mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln, also 3 – 31 mal gegenüber der Wahrscheinlichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

Bei 12 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit bei 32,26% mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln, also 3 – 12 mal gegenüber der Wahrscheinlichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

Bei 12 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln aber auch bei 3225/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Bei 5 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei 16/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Bei 4 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei 5/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Mit der Matrix

0,8333333333 - 0 - 0- 0
0,166666666667 - 0,8333333333 - 0- 0
0 - 0,166666666667 - 0,8333333333 - 0
0- 0 - 0,166666666667 - 1

komm ich auch auf 31 mal würfeln für 90%

> Bei 4 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei
> 5/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Liegt ca. bei 3,5/1

Schlangenmensch

Für genau 3 mal sinkt die Wahrscheinlichkeit mit zunehmenden Würfen wieder, weil man dann eben auch häufiger eine 7 Würfeln kann. Daher kommt man nie auf 90%

Für mindestens 3 mal würde ich das über die Gegenwahrscheinlichkeit machen. Also

1-P(keine 7)-P(genau eine 7) - P(genau zwei 7) = 0,9

c++**d

Danke für die ganzen Posts und sorry, dass ich das (Hobby-)Projekt etwas aus den Augen verloren hatte.

Kleine Berichtigung: Natürlich macht es recht wenig Sinn, nach genau 90% zu suchen. Die Fragestellung sollte daher eher heißen: "damit das Ereignis mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit eintritt?"

Binomialverteilung war das richtige Stichwort gewesen. Ich werde aber aus o.g. Grund davon absehen, das ganze nach n umzuformen.

Vielmehr werde ich anhand der Tabelle mit den kumulierten Werten ein passendes n ablesen.