Stochastik: Würfelergebnis, Wahrscheinlichkeit mehrmaliger Würfe

c++**d

Hi mal wieder,

die letzte Mathe-Stunde ist schon ein wenig länger her. Daher wollte ich auf Eure Hilfe zurückgreifen.

Das Würfelergebnis x soll mit n Würfeln (d6) m mal erzielt werden. Wie viele Würfe w benötige ich, damit dies mit p-prozentiger Wahrscheinlichkeit eintritt?

soll mit 2[n] Würfeln 3[m] mal erzielt werden. Wie viele Würfe [w] benötige ich, damit dies mit 90-prozentiger [p] Wahrscheinlichkeit eintritt?

Bisher habe ich berechnet:
-Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für Würfelergebnisse von 1-12 bei 1 und 2 Würfeln. (Bsp.: 5 Kombinationsmöglichkeiten um eine 7 mit 2 Würfeln zu erzielen.)
-Jeweilige Wahrscheinlichkeiten mit der ein bestimmtes Würfelergebnis bei einmaligen Wurf mit 1 und 2 Würfeln eintritt. (Bsp.: 0% eine 12 mit nur einem Würfel zu erzielen ;))

Ich nehme mal an, dass es irgendwas mit (100% - Gegenwahrscheinlichkeit) sein sollte.
Bin ich mit (n über k) etc. auf dem Holzweg?

Für ein paar Stichwörter oder gar eine Formel wäre ich sehr dankbar.

$P(\text{mit $n$ Würfeln einmal die Augensumme $x$ }) = P(\sum_{i=1}^nX_i = x)$ berechnest du mit https://de.wikipedia.org/wiki/Faltung_(Stochastik) $X_i$ ist die Zufallsvariable "ein Würfelwurf".

Dann berechnest du $P(\text{mit $n$ Würfeln $m$ -mal die Augensumme $x$ })$ daraus mittels https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

Klar?

c++**d

Danke schonmal für den Post!

Ich werde mir mal die genannten Stichwörter näher (evtl. auch länger) angucken.

Wenn dann noch Fragen sein sollten, melde ich mich wieder.

Hast du noch Fragen?

soll mit 2[n] Würfeln 3[m] mal erzielt werden. Wie viele Würfe

> [w] benötige ich, damit dies mit 90-prozentiger [p] Wahrscheinlichkeit eintritt?

Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln eine 7 zu würfeln liegt bei 1/6

also:
(n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 90

Wer möchte das mal nach n umformen?

Schlangenmensch

Das wäre doch die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen genau 3 mal eine 7 zu Würfeln, oder? Ein kurzer Plot der Funktion zeigt auch, dass es keine Lösung für P=0,9 in dem Fall gibt.

Sinnvoller wäre doch die Frage, wie häufig muss gewürfelt werden um mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens dreimal eine 7 zu würfeln.

Also gefragt war ja, wie oft man würfeln muss um mit 90%ziter Wahrscheinlichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln. Da kann man genau 3 mal oder mindestens 3 mal draus interpretieren.

Für genau 3 mal: (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9

Dafür sollte es auch ein Lösung geben. Nur, wie kommt man an n?

Für mindestens 3 mal müsste man wohl die kumulierte Binomialverteilung von 3 bis n mal berechnen. Also:

(n!/(3!(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9
+ (n!/(3 + 1!(n-3+1)!)) * (1/6)^(3+1) * (5/6)^(n-3+1) = 0,9
+ (n!/(3 + 2!(n-3+2)!)) * (1/6)^(3+2) * (5/6)^(n-3+2) = 0,9
+ ....
bis + (n!/(n!(n-n)!)) * (1/6)^(n) * (5/6)^(n-n) = 0,9

Das erscheint mir noch komplizierter.

> Dafür sollte es auch ein Lösung geben.

Ich hab jetzt mal ein Rechner bemüht:

bei 3 Würfen leigt die Wahrscheinlichkeit bei 0.46%
bei 15 bei 23.63%
bei 18 bei 24.52
bei 20 bei 23.79%
bei 25 bei 19.29%
bei 30 bei 13.68%
bei 100 bei 0.00156%

Könnte man jetzt also für n 3; 4; 5; 6 usw. eingeben, die Wahrscheinlichkeiten addierten, bis man bei 90% wäre, um zu wissen, wie oft man würfeln muss um mit 90%zitiger Wahrscheinlichkeit 3 mal die 7 zu Würfeln? Bei 12 mal würfeln kommt man so auf 94,85%

> Nur, wie kommt man an n?

Die Frage, die mich am meisten interessiert, ist ob man (n!/(3!*(n-3)!)) * (1/6)^3 * (5/6)^(n-3) = 0,9 nach n auflösen kann.

> Bei 12 mal würfeln kommt man so auf 94,85%

Bei 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, also bei 75 mal

> Könnte man jetzt also für n 3; 4; 5; 6 usw. eingeben, die Wahrscheinlichkeiten
> addierten, bis man bei 90% wäre, um zu wissen, wie oft man würfeln muss um mit
> 90%zitiger Wahrscheinlichkeit 3 mal die 7 zu Würfeln?

Das geht wohl so nicht.

Grundsätzlich fragt sich auch % von was? Denn je häufiger gewürfelt wird, desto wahrscheinlicher ist es ja, dass 3 mal eine 7 gewürfelt wird.

Wenn 3 mal gewürfelt wird, besteht nur einmal die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln und rund 217 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

Wenn 100 mal gewürfelt wird, besteht 161700 die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln, aber es bestehet auch rund 10360000000 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln

Im Vergleich zu 3 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln also

bei 100 mal würfeln bei 161700/1
bei 9 mal würfeln bei 84/1
bei 10 würfeln bei 120/1

Bei 9 mal würfeln sollte die Wahrscheinlichkeit also bei 84% gegenüber 3 mal würfeln liegen und bei 10 mal bei 120% gegenüber 3 mal

> Wenn 100 mal gewürfelt wird, besteht 161700 die Möglichkeit 3 mal eine 7 zu würfeln,
> aber es bestehet auch rund 10360000000 mal die Möglichkeit nur einmal, zweimal oder
> keinmal eine 7 zu würfeln

Da fehlen aber die 4 – 100 mal 3 mal eine 7 zu würfeln

Mit der kumulierten Binominalverteilung kommt man bei 31 Würfen auf eine Wahrscheinlichkeit von 90,94% mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln, also 3 – 31 mal gegenüber der Wahrscheinlichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

Bei 12 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit bei 32,26% mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln, also 3 – 12 mal gegenüber der Wahrscheinlichkeit nur einmal, zweimal oder keinmal eine 7 zu würfeln.

Bei 12 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln aber auch bei 3225/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Bei 5 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei 16/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Bei 4 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei 5/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Mit der Matrix

0,8333333333 - 0 - 0- 0
0,166666666667 - 0,8333333333 - 0- 0
0 - 0,166666666667 - 0,8333333333 - 0
0- 0 - 0,166666666667 - 1

komm ich auch auf 31 mal würfeln für 90%

> Bei 4 mal würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit mindestens 3 mal eine 7 zu würfeln bei
> 5/1 gegenüber der Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln 3 mal eine 7 zu würfeln.

Liegt ca. bei 3,5/1

Schlangenmensch

Für genau 3 mal sinkt die Wahrscheinlichkeit mit zunehmenden Würfen wieder, weil man dann eben auch häufiger eine 7 Würfeln kann. Daher kommt man nie auf 90%

Für mindestens 3 mal würde ich das über die Gegenwahrscheinlichkeit machen. Also

1-P(keine 7)-P(genau eine 7) - P(genau zwei 7) = 0,9

c++**d

Danke für die ganzen Posts und sorry, dass ich das (Hobby-)Projekt etwas aus den Augen verloren hatte.

Kleine Berichtigung: Natürlich macht es recht wenig Sinn, nach genau 90% zu suchen. Die Fragestellung sollte daher eher heißen: "damit das Ereignis mit mindestens 90%-iger Wahrscheinlichkeit eintritt?"

Binomialverteilung war das richtige Stichwort gewesen. Ich werde aber aus o.g. Grund davon absehen, das ganze nach n umzuformen.

Vielmehr werde ich anhand der Tabelle mit den kumulierten Werten ein passendes n ablesen.