Inverses von nicht-quadratischen Matrizen mit vollem Rang

[jämmerlicher Untermensch]

Frage steht schon im Titel. Für quadratische Matrizen mit vollem Rang gibt es selbstverständlich inverse Matrizen. Doch gibt es sowas auch im Falle m≠n, sofern die Matrix vollen Rang hat?

[Biolunar]

Angenommen du hast eine Matrix $M$, die eine linerare Abbildung $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ darstellt. Für $n < m$ kann die Abbildung nicht surjektiv sein, also gibt es auch keine inverse Abbildung. Für $n > m$ ist die Abbildung surjektiv, falls $\text{rg}(M) = m$ ist. Folglich gibt es mindestens eine inverse Abbildung.

[krümelkacker]

https://de.wikipedia.org/wiki/Pseudoinverse

[Joschka Phisher]

Jede surjektive lineare Abbildung von Vektorräumen hat einen Schnitt.

[Bashar]

Ein Schnitt ist aber keine Inverse.

[Joschka Phisher]

Für Abbildungen zwischen VRen unterschiedlicher Dimension gibt es ja auch keine Inverse.

[Joschka Phisher]

Sei $f: V \twoheadrightarrow W$ eine surjektive lineare Abbildung. Dann gibt es einen Schnitt, also ein $g: W \hookrightarrow V$ mit $\mathrm{id}_W = f \circ g$. Ein Schnitt ist ein Rechtsinverses. Er ist eindeutig genau dann, wenn f auch injektiv, also ein Isomorphismus ist.