4. Polynom 3. Grades

Polynom 3. Grades

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    (00(1+λ)+λ2⋅(1−λ)01−λ0001−λ0)\begin{pmatrix} 0 & 0 & (1 + \lambda) + \lambda^{2} \cdot (1-\lambda) & 0\\ 1 & -\lambda & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \end{pmatrix}

    Wie geht es hier also weiter? Nur ein Tipp bitte! Ich würde es so machen, dass ich die 3 Zeile und 3 Spalte so umforme, dass ich den Term in der 1 Zeile und die 3. Spalte bekomme, anschließend mal minus 1. Dann würde ich die 1. Zeile mit der 3. addieren. Aber es kommt was hässliches raus...

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    Ne, dann kommt was mit Term/λ raus und λ könnte 0 sein, was dann undefiniert ist... verdammt!

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    Das ist ein Polynom 3. Grades in der ersten Zeile. Man muss also doch mit der Formel für kubische Gleichungen weitrmachen. Gut dann nehme ich halt den Ansatz von Fytch.

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  • F

    λ kann nicht 0 sein, weil deine Matrix regulär ist. Wenn 0 ein Eigenwert wäre, hieße das, dass Nicht-0-Vektoren auf 0 abgebildet werden, was wiederum heißt, dass der Kern eine positive Dimension hat, was heißt, dass deine Matrix singulär ist. Aber du hast schon gezeigt, dass sie vollen Rang hat.

    Dein Fehler bei der Bestimmung eines Basisvektors des Kerns ist, dass 1+λ+λ2(1-λ) (der Term oben rechts in deiner vorletzen Matrix) genau das charakteristische Polynom und somit 0 ist. Aber das ist nicht weiter schlimm; du musst lediglich einen Basisvektor des Kerns dieser Matrix bestimmen:

    (0001−λ001−λ)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}

    Wie das geht habe ich schon vor einigen Tagen und Posts gezeigt, aber du hast es ignoriert. 🙄

    PS: Wenn dir schon das Lösen von unterbestimmten Systemen und das Einführen von Parametern Probleme bereitet, dann würde ich an deiner Stelle erst ein gutes Lineare-Algebra-Buch konsultieren und die Grundlagen wiederholen.

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    Fytch schrieb:

    λ kann nicht 0 sein, weil deine Matrix regulär ist. Wenn 0 ein Eigenwert wäre, hieße das, dass Nicht-0-Vektoren auf 0 abgebildet werden, was wiederum heißt, dass der Kern eine positive Dimension hat, was heißt, dass deine Matrix singulär ist. Aber du hast schon gezeigt, dass sie vollen Rang hat.

    Dein Fehler bei der Bestimmung eines Basisvektors des Kerns ist, dass 1+λ+λ2(1-λ) (der Term oben rechts in deiner vorletzen Matrix) genau das charakteristische Polynom und somit 0 ist. Aber das ist nicht weiter schlimm; du musst lediglich einen Basisvektor des Kerns dieser Matrix bestimmen:

    (0001−λ001−λ)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}

    Wie das geht habe ich schon vor einigen Tagen und Posts gezeigt, aber du hast es ignoriert. 🙄

    PS: Wenn dir schon das Lösen von unterbestimmten Systemen und das Einführen von Parametern Probleme bereitet, dann würde ich an deiner Stelle erst ein gutes Lineare-Algebra-Buch konsultieren und die Grundlagen wiederholen.

    Wow!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    Ja genau das in der 1. Zeile ist das charakteristische Polynom und das muss Null sein. Der Rest der Rechnung ist ja dann einfach und ich komme auf die selbe Lösung wie Du. Man ich muss mehr aufpassen....

    Ich habe schon ein gutes Buch in Lineare Algebra, aber da werden eher mehr Beweise und Konzepte erklärt als Rechnungen wie diese. Ich verstehe mehr oder weniger die grundlegenden Konzepte der LA. Ich habe die Leibniz-Formel, die Laplaceentwicklung und die Matrix-Eintrags-Summenformel (für die Matrixmultiplikation) hergeleitet, weil ich verstehen wollte wie man aus einer Definition/eine Liste an Forderungen (wie bei Determinanten/Kreuzprodukten/Skalarprodukten/normierte Räume/Basiswechsel) auf diese Formeln kommt bzw. warum die Definitionen Sinn machen (Ich bezeichne die Determinantenfunktion als "Detektorfunktion für lineare abhängigkeit", denn ich kann kein "Volumen" bilden, wenn ein Spaltenvektor l.a. ist.
    Aber ich muss mein Rechnen verbessern. Vor allem bei so schwierigen Sachen wie dieses hier. Ich habe halt wenig Erfahrung damit und muss mehr üben.

    Ja hab halt nicht gesehen, dass die erste Zeile das char. Polynom ist...

    Bei LGS mit Parametern muss ich aufpassen, da ich die Paramterwerte nicht kenne.

    https://www.youtube.com/watch?v=2O5iGLf8bmg

    Also ich benutze dieses Buch hier: https://www.amazon.de/Lineare-Algebra-Einführung-Ingenieure-Naturwissenschaftler/dp/3519003708/ref=sr_1_20

    Beutelspacher gefällt mir nicht und Fischer auch nicht und Linear Algebra Done Right auch nicht. Anscheinend soll das auch gut sein, habe es allerdings nicht ganz gelesen:

    https://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW_2017-09-04.pdf

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    Kannst Du mir ein LA-Buch mit ganz vielen knackigen Rechnungen und deren Lösungswege empfehlen?
    Ich glaube nicht, dass so etwas in Schaum's Outline of Linear Algebra drin ist...

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    Okay, ich bin jetzt bei TA 5. Ich würde gerne den Thread in "Problem 1, Math Entrance Exam 2016, Tokyo University" unbenennen.

    A=(111100010)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

    V=(λ12λ22λ32λ1λ2λ3111)V = \begin{pmatrix} {\lambda_{1}}^2 & {\lambda_{2}}^2 & {\lambda_{3}}^2 \\ {\lambda_{1}} & {\lambda_{2}} & {\lambda_{3}} \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

    Λ = V−1⋅A⋅VV^{-1} \cdot A \cdot V

    Okay, um dieses fette Lambda zu bekommen, brauche ich die Inverse von V. Ich würde das einfach mit dem Gaußverfahren machen:

    (λ12λ22λ32100λ1λ2λ3010111001)\begin{pmatrix} {\lambda_{1}}^2 & {\lambda_{2}}^2 & {\lambda_{3}}^2 & 1 & 0 & 0 \\ {\lambda_{1}} & {\lambda_{2}} & {\lambda_{3}} & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

    Ich muss gucken, dass links die Einheitsmatrix steht und Rechts die Diagonalmatrix, aber das wird hässlich werden... Gibt es 'ne bessere Lösung?

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    https://i.imgur.com/zJdrlVY.png

    Das sieht nun wirklich nicht schön aus... Gibt es einen Trick? Habe ich hier etwas wieder vernachlässigt? Das kann doch nicht sein, dass ich so etwas in der Prüfung machen muss ohne Taschenrechner.

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    *rechts ist die invertierte Matrix (nicht die Diagonale)

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    TA5: Wenn ich die Matrix nach dem diagonalisieren habe, dann kann ich doch diese Matrix zu n potenzieren und dann kann ich es mit einem Vektor mit den komplexen Konstanten multiplizieren, sodass ich dann etwas bekomme, dass 'ne Tribonacci-Zahl ist. Da würde dann vllt. doch vollständige Induktion helfen...

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    Ich glaub ich habe Fytch verscheucht, da ich gerade ein Monolog führe...
    Wo sind die anderen Experten, wenn einer sich zurückzieht? Volkard, lebst Du noch?

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    Ach egal, vllt. ist volkard (ein Universalgelehrter) ja nicht mehr so aktiv wie früher... Vllt. ist jetzt Fytch der neue volkard, aber ein volkard, das nachgiebig ist...

    Bei der Eigenwertdekomposition muss ich halt gucken wie man darauf evtl. ohne TR kommt...

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