Wachstumsformel herleiten
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Ich versuche gerade, die Wachstumsformel anhand eines Beispels zu verstehen.
Ich gehe davon aus, dass zum Zeitpunkt N(0) = 1 Bakterium da war und dass sich die Anzahl pro Zeitschritt verdoppelt.Also N(0) = 0, N(1) = 2, N(2) = 4, N(3) = 8, N(t) = 2^t
Laut Buch hier ist die Formel für die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t+dt:
N(t + dt) = N(t) + c*N(t)*dt
woraus N´(t) = cN(t) gemacht wird.
Für mein Beispiel wäre c = 1, da die Änderung ja 1N(t) pro Zeitschritt ist.Die Lösung zu N´(t) = N(t) ist aber e^t + C und nicht 2^t.
Wo liegt da der (Denk)Fehler?
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Der Fehler ist Dein setzen von c=1.
Du bestimmst c in einem diskreten Zeitschritt und gehst erst danach zum Kontinuum über. Aber so geht das nicht, denn bei kleineren dt würde auch c kleiner.
Also lass c erstmal unbestimmt.
Im Grenzübergang ergibt sich also die DG
N´(t) = c * N(t)Die Lösung davon ist
N(t) = exp(c*t) + KDeine Bedingungen ergeben:
N(0) = 1 => K = 0
N(1) = 2 => c = ln(2)Und siehe da, mit den Rechenformeln von Exp/Ln ist das
N(t) = exp(ln(2) * t) = exp(ln(2))^t = 2^t
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Kleine Korrektur: Die Lösung von N'(t) = c*N(t) ist N(t) = K*exp(c*t). Also K=1 im Beispiel.
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