Differentialgeometrie
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@john-0 Wenn er/sie "Analysis, Lineare Algebra" schreibt, dann ist mehr oder weniger klar, wie sein/ihr Background ist: Student nach einem oder zwei Semestern. Für die klassische Differentialgeometrie (DG) reicht Analysis II. Funktionnalanalysis (FA) und DG sind ziemlich disjunkt. Man mag FA in der Physik brauchen (spätestens in der klassischen Quantenmechanik), aber bzgl. biters Frage spielt sie keine Rolle.
Aber mal eine Frage an dich: Da ich zwar Funktionalanalytiker bin, aber von ihren Anwendungen nicht viel Ahnung habe, interessiert mich, welche Themen der FA in physikalischen Variationsproblemen zum Einsatz kommen. Kannst du dazu mehr sagen?
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Ich habe nun ein Buch gekauft, es scheint gut zu sein: "Wolfgang Kühnel, Differentialgeometrie, Aufbaukurs Mathematik, Springer Spektrum" Mit viel Text und sehr anschaulich, mit vielen Aufgaben und Lösungen, da habe ich viel Denkfutter !
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
Aber mal eine Frage an dich: Da ich zwar Funktionalanalytiker bin, aber von ihren Anwendungen nicht viel Ahnung habe, interessiert mich, welche Themen der FA in physikalischen Variationsproblemen zum Einsatz kommen. Kannst du dazu mehr sagen?
Die klassische Mechanik in der theoretischen Physik Vorlesung wird man meistens wegen der fehlenden Mathematikkenntnisse am historischen Original gelehrt. Wenn man im Hauptstudium darauf zurückkommt, wird die Mechanik nur noch über Hamilton-Jacobische-Theorie vermittelt. Der ganze Formalismus ähnelt schon rein von der Form her sehr dem der QM: Hamilton-Funktion, Poisson-Klammern, Lagrange-Dichte, etc.
Wenn man nun Variationsrechnung macht, sucht man eine Funktion, die die Gleichung erfüllt und bekommt sie in dem man mit Hilfe der FA das Funktional minimiert. Der ganze Aufwand, den man in Grundstudium lernt, ist im Prinzip überflüssig, wenn man einmal die FA kennt. In der QM gibt es dann die DFT (Dichtefunktionaltheorie) mit deren Hilfe man das Vielteilchenproblem in der QM vereinfachen kann.
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@john-0 Danke für deinen Beitrag, aber leider beantwortet dieser meine Frage nicht. Ich hatte gefragt, welche funktionalanalytischen Themen/Methoden dort zum Einsatz kommen. Die FA ist ja ein weites Feld. Ist es z.B. die Theorie der lokalkonvexen Räume oder doch mehr Operatortheorie? Vielleicht Fourier-Analysis? Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
@john-0 Danke für deinen Beitrag, aber leider beantwortet dieser meine Frage nicht. Ich hatte gefragt, welche funktionalanalytischen Themen/Methoden dort zum Einsatz kommen. Die FA ist ja ein weites Feld. Ist es z.B. die Theorie der lokalkonvexen Räume oder doch mehr Operatortheorie? Vielleicht Fourier-Analysis? Ich hoffe, du verstehst, was ich meine.
Die Feldtheoretischen Ansätze verwenden grundsätzlich Operatorentheorie, die in der QM insbesondere. In der QM spricht man hier von der zweiten Quantisierung und macht den Übergang zu QFT (Quantenfeldtheorie). Alles in der QM lebt auf Hilberträumen. Wenn man den Dirac-Formalismus nutzt, d.h. den ket-Vektor schreibt, dann ist der dazu passende bra-Vektor aus dem Dualraum. Operatoren sind in der QFT extrem wichtig und werden exzessesiv genutzt. Ich weiß jetzt nicht was Du mit Fourier-Analysis meinst, aber Fourier-Transformationen bzw. Fourier-Räume werden ständig genutzt. Insbesondere in der Festkörpertheorie, da das reziproke Gitter der Fourierraum zum normalen Gitter ist. Viele Formeln lassen sich auf dem reziproken Gitter leichter lösen wie auf dem Gitter.
Ich weiß jetzt nicht was Du mit lokalkonvex meinst, Hilberträume sind es. In der QM kommt man nicht mit weniger aus, insofern ergibt es in der Physik wenig Sinn, sich mit Räumen zu befassen, die keine Hilberträume sind.
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Ich weiß jetzt nicht was Du mit lokalkonvex meinst, Hilberträume sind es. In der QM kommt man nicht mit weniger aus, insofern ergibt es in der Physik wenig Sinn, sich mit Räumen zu befassen, die keine Hilberträume sind.
Soweit ich weiß, wird in der Physik auch oft mit Distributionen gerechnet (Bsp.: Delta-Distribution). Dies sind keine Funktionen, sondern Funktionale, die entweder auf dem Raum der Schwarzfunktionen oder auf dem Raum der unendlich oft diffbaren Funktionen mit kompaktem Träger definiert sind. Mit der jeweils natürlichen Topologie wird der jeweilige Raum zum lokalkonvexen Raum und die Distributionen sind stetige Funktionale darauf.
Mir hingegen ist nicht klar, was du mit "Gitter" und "Fourierraum" meinst. Ein Gitter ist für mich eine regelmäßige Anordnung von Punkten im IR^n. Ist das gemeint?
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@WebFritzi sagte in Differentialgeometrie:
Soweit ich weiß, wird in der Physik auch oft mit Distributionen gerechnet (Bsp.: Delta-Distribution). Dies sind keine Funktionen, sondern Funktionale, die entweder auf dem Raum der Schwarzfunktionen oder auf dem Raum der unendlich oft diffbaren Funktionen mit kompaktem Träger definiert sind. Mit der jeweils natürlichen Topologie wird der jeweilige Raum zum lokalkonvexen Raum und die Distributionen sind stetige Funktionale darauf.
Ja, wird laufend benutzt. Im physikalischen Experiment, wird eher eine Approximation einer Delta-Distribution verwendet, weil es eine echte Delta-Distribution nicht geben kann. Das was aus den Funktionsgeneratoren heraus kommt, sieht daher immer wie eine mehr oder minder gute Fourier-Transformation des gewünschten Signals aus, und es mathematisch betrachtet wieder eine Funktion.
Mir hingegen ist nicht klar, was du mit "Gitter" und "Fourierraum" meinst. Ein Gitter ist für mich eine regelmäßige Anordnung von Punkten im IR^n. Ist das gemeint?
Nein, ich meine nicht mathematische Gitter (salopp formuliert einen Vektorraum bei denen die Vektoren ganzzahlige Vielfache der Basisvektoren sind) sondern physikalische Gitter (Bravais-Gitter um genau zu sein), d.h. alles spielt sich im IR³ ab (normaler mathematischer Vektorraum und kein mathematisches Gitter, dafür sind die Basisvektoren des Bravais-Gitter nur wieder ganzzahlig linearkombinierbar). Verwirrend, aber die Mathematik spielt sich auf einem Kontinuum ab, die Physik hat eine diskrete Struktur. Der Grund weshalb man auf einem Kontinuum rechnet ist einfach. Erst die Lösung der Formeln für das Vielteilchenproblem ergibt sich die diskrete Struktur des Gitters, zum Berechnen braucht man das Kontinuum.
Man beschreibt mit so einem Bravais-Gitter die Positionen der Atome in Kristallen Kristallgitter und dazu gibt es das reziproke Gitter. Das reziproke Gitter ist einfach die Fourier-Transformation des normalen Gitters. Die Formeln lassen sich nun jeweils für beide Darstellungen des Gitters formulieren, und wenn man Rechnungen in der QM für Festkörper machen will, stellt man schnell fest, dass sich viele Formeln sehr viel leichter berechnen lassen, wenn man sie auf dem reziproken Gitter berechnet.
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Ich möchte ja nichts beschönigen, mit meinen zwei Vordiplomen, habe aber an die Universitäten andere Erwartungen gestellt. An der Uni lernt man den Umgang mit Differentialgleichungen, verschiedene Fächer, aber die eigentlichen Grundlagen nicht ! Was bedeutet das Gleichheitszeichen ? ( Gut Unifikation - Prolog ) was bedeutet eine Addition ? Woher kommen die Begriffe: "Energie" "Masse" "Zeit" "Raum" ? Hat die irgendjemand eingeführt ? Woher kommen die ? Ich denke, dass da höhere Mächte im Spiel sind, Gott ?
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also im lehrplan stand immer etwas von "präsenzzeit" und dann noch etwas von "eigenleistung". angeblich bedeutet letzteres, dann man sich bspw. in die bibliothek begibt und sich da wissen aneignet, das außerdem auch noch interessant sein könnte. alternativ kann man diese eigenleistung natürlich auch in der mensa oder mit der wasserpfeife verbringen, aber eigentlich ist das dann kein studium (gesellschaftswissenschaften ausgenommen).
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@biter sagte in Differentialgeometrie:
Ich möchte ja nichts beschönigen, mit meinen zwei Vordiplomen, habe aber an die Universitäten andere Erwartungen gestellt. An der Uni lernt man den Umgang mit Differentialgleichungen, verschiedene Fächer, aber die eigentlichen Grundlagen nicht ! Was bedeutet das Gleichheitszeichen ? ( Gut Unifikation - Prolog ) was bedeutet eine Addition ? Woher kommen die Begriffe: "Energie" "Masse" "Zeit" "Raum" ? Hat die irgendjemand eingeführt ? Woher kommen die ? Ich denke, dass da höhere Mächte im Spiel sind, Gott ?
Die Axiome der Mathematik sind nicht willkürlich definiert worden, sondern aus mathematisch philosophischen Gründen, die Dir mit dem Wissen aus dem Grundstudium wohl nicht nachvollziehbar erscheinen können. Z.B. wird die Menge IR mittlerweile axiomatisch eingeführt und nicht mehr IN. Man kann auch mit IN alles in der Mathematik herleiten (so hat man das früher gemacht), nur wird das ganze deutlich unschöner. Und der Grund weshalb man das geändert hat ist das „unschön“. Es gibt dazu spezielle Literatur, die sich mit den philosophischen Gedanken zur Mathematik befasst.
Was die Physik und die Naturwissenschaften betrifft. Hier kann man nichts axiomatisch einführen, sondern man beobachtet Ereignisse und versucht Hypothesen aufzustellen und falsifiziert diese in Experimente. Zum philosophischen Verständnis der Naturwissenschaften ist „Karl Popper, Logik der Forschung“ meines Erachtens noch immer das wichtigste Buch. Es sollte sich mit dem Wissen aus dem Grundstudium Physik relativ leicht lesen lassen. Für Philosophen gibt es üblicherweise die Version für „Dummies“, die kann man sich gleich ersparen, denn die taugt rein gar nichts. Es gibt die Ausgabe von Mohr Siebeck PB ISBN 978-3161484100 für € 39,- und HC ISBN 978-3161481116 für €99,-, die Paperback Version ist ordentlich verarbeitet und meines Erachtens ausreichend. Wer also kein Forschungsarbeit betreibt und das Buch ständig benötigt kommt mit der PB Version aus. All die anderen Ausgaben sind entweder gekürzt oder Interpretationen bzw. die englische Ausgabe des Buchs.
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Aber welcher Mathematiker, Philosoph hat denn den Begriff der Menge eingeführt ? Und damit das kartesische Produkt, die Relationen und Funktionen ? Wie heisst der ? Wenn die Mathematik nicht willkürlich definiert worden ist, wo liegen die Gründe hierfür ? Woher nimmt man die "Gründe" ? Wer stützt sich auf die Gründe, woher kommen die Gründe ?
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Und nochmals, wer hat den Begriff der Energie, und und und, eingeführt ? Wie heisst der oder die ? Die physikalischen Grössen können doch nicht durch Zufall entstanden sein ? Die sind ja ziemlich erfolgreich. Also ich habe nur die Vordiplome, Du hast womöglich recht mit dem Grundstudium.
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Und wenn man Theorien durch Experimente belegt, dann müssen die Definition der enthaltenen Grössen bekannt sein. Eine Theorie: F = m * a, da müssen es die Grössen Kraft, Masse und Beschleunigung bekannt sein. Dann müsste für die Grösse Kraft auch eine Hypothese gefunden worden sein, die die Grösse Kraft einführt. Wie wollte man elementare Grössen wie Energie, Masse mit Hypothesen einführen ? Mit welchen Experimenten wollte man diese, wenn sie noch isoliert da stehen, glaubhaft machen. Also für meinen Teil: ich bin ein Creationist !
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@biter sagte in Differentialgeometrie:
Und nochmals, wer hat den Begriff der Energie, und und und, eingeführt ? Wie heisst der oder die ?
ist das so schwer, sowas bei wikipedia nachzuschlagen?
energie: thomas young (https://de.wikipedia.org/wiki/Energie#Geschichte_des_Begriffs)
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Ja aber irgendwelche physikalische Grössen müssen ja die ersten gewesen sein, die konnten sich nicht auf Beziehungen mit anderen stützen. Ja Ok auch der Mengenbegriff wurde von einem Mathematiker eingeführt. Vielleicht habe ich mich da etwas verrannt ... Trotzdem ich glaube, dass die neuen Begriffe von Mathematikern, die denen eingefallen sind, Ideen von oben waren. Und wenn Mathematiker Ideen gehabt haben, mit denen sich auch noch Physik machen lässt, dann macht mich das stutzik ...
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Ja aber nochmals, was ist denn eine Gleichheit, und eine Addition, die man bei der Mathematik und Physik verwendet. Man kann damit unbeschwert umgehen, aber die Hintergründe ? Wenn sich damit auch Physik machen lässt, dann gab es diese schon seit Anbeginn des Universums und wurde nicht von uns eingeführt !
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Also *john 0 entschuldige die Frechheit, aber mich interessiert dann doch eine Antwort von Dir, zu meinen letzten zwei Fragen. Gleichheit hat mit Äquivalenzrelation, und Addition mit Zählen zu tun. Haben wir das erfunden, oder eine höhere Macht ? Weitere Hintergründe ?
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@biter sagte in Differentialgeometrie:
Also *john 0 entschuldige die Frechheit, aber mich interessiert dann doch eine Antwort von Dir, zu meinen letzten zwei Fragen. Gleichheit hat mit Äquivalenzrelation, und Addition mit Zählen zu tun.
Dazu musst Du entsprechende Literatur konsultieren. Eine gut sortierte UB sollte weiterhelfen zumindest die notwendigen Titel herauszufinden. Allgemein solltest Du Dich mit Erkenntnistheorie auseinander setzen.
Haben wir das erfunden, oder eine höhere Macht ? Weitere Hintergründe ?
Ich hatte Dir schon einen extrem wichtigen Buchtitel genannt. Lesen und verstehen wo die Grenzen des Wissens sind.