4. Grenzwert Integral

Grenzwert Integral

  • R

    Mir ist nicht ganz klar, warum das hier gelten soll:

    Δx→0:1Δx∫Δxf(x)dx=f(x)\Delta x \rightarrow 0: \dfrac{1}{\Delta x} \; \displaystyle\int_{\Delta x} f(x) dx = f(x)

    Das ganze ist hier ein wenig verinfacht und ich bin nicht sicher, ob meine Vereinfachung was am Wahrheitsgehalt geändert hat. Ich kann bei Bedarf auch die gesamte Gleichung mal aufschreiben.

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  • W

    Ganz naiv/anschaulich (wobei das in Mathe immer gefährlich ist - ich nehme mal einfach an, dass deine Definitionsmenge keine Lücken enthält (z.B. = R\mathbb R ist oder kompakt ist) und f überall definiert und integrierbar ist - da müsstest du mal genauer nachsehen, was deine Anforderungen sind).

    Das Integral ist unter diesen Annahmen die (durchschnittliche) Höhe der Funktion im Bereich delta x mal Breite des zu integrierenden Bereiches. Naja, so ungefähr.

    Jetzt hast du eine sehr kleine Breite. Also ist die Höhe ungefähr überall gleich. Integral ist Höhe mal Breite. Dann mutiplizierst du das Integral mit 1/Breite. Ergibt die durchschnittliche Höhe innerhalb dieser Breite. Für Breite->0 kommt dann eben die Höhe = Funktionswert raus.

    PS: mit dieser Erklärung wäre ich sicher durch jede Mathe-Prüfung gefallen 😉

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  • Mod

    Mit den ganzen Annahmen, die wob genannt hat, aber formell:
    ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)
    Dabei gilt für die Stammfunktion :
    f(x)=limh→0F(x+h)−F(h)hf(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(h)}{h}
    Somit ist
    limh→01h∫aa+hf(x)dx=limh→0F(a+h)−F(a)h=f(a)\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_a^{a+h}f(x)dx=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(a+h)-F(a)}{h}=f(a)

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  • A

    Das ist z.B. falsch für die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen und das Lebesgueintegral.

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