Einhüllende einer Kurvenschar berechnen

titan99_

Hallo,

Ich habe folgende Frage. Ich habe eine Kurvenschar bestehend aus einer Kurve (und leichte Abwandlungen dieser Kurve) die im Wikipedia-Artikel Halbwertszeit in der ersten Abbildung zu sehen sind. Zu dieser Kurvenschar suche ich die Einhüllende.

Informationen zur Berechnung dazu habe ich schon gelesen, aber ich habe sie nicht verstanden. Deshalb frage ich ob jemand leichter verständliche Artikel kennt oder die Berechnung aufzeigen kann?

wob

Also im Prinzip brauchst du doch nur die eine Formel

$y(t) = c_1 \mathrm{e}^{-c_2 t} + c_3$

Jetzt ist nur die Frage, welche der Konstanten $c_1$ bis $c_3$ bei dir nicht konstant sind, sondern Scharparameter - und vor allem: ist der/sind die Parameter völlig frei oder eingeschränkt ( $c_2$ wird wohl kaum $\leq 0$ sein!)? Oder ist der bei dir gar von t abhängig? Sonst ist das hier irgendwie sinnlos. Kannst du mal konkret werden? Normalerweise musst du nach dem Scharparameter ableiten, nullsetzen und ausrechnen. Nur wird $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{e}^{-t}=-\mathrm{e}^{-t}$ wohl kaum ne Nullstelle haben...

Den 2. Teil mit Diskriminierung etc. verstehe ich nicht. Wo ist der Zusammenhang?

titan99_

@wob Danke für die Erklärung.

@wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

Kannst du mal konkret werden?

$f_1(x)=e^{-x\frac{ln(2)}{t_1}}$ $\qquad(x \geq 0)$
$f_2(x)=f_1(x)+f_1(x-t_2\cdot c_?)$ $\qquad(t_2\cdot c_? \leq x)$
...

@wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

Den 2. Teil mit Diskriminierung etc. verstehe ich nicht. Wo ist der Zusammenhang?

Es ist glaube ich zum Teil offtopic und zum Teil hat es Zusammenhänge, die ich nicht ins Internet stellen möchte.

wob

@titan99_
Sorry, ich habs noch nicht verstanden. Was ist $t_n$ bei dir? Konstant? Parameter? Und $c_?$ ist ne Konstante?
Wie wird $f_n$ ermittelt?

Du scheinst da ja was rekursives zu haben. f2 scheint ja auch von t1 und t2 abzuhängen.

Ich hatte oben t für Zeit als den x-Wert genommen. Bei dir ist t dann was anderes. Kann t1 < 0 sein?

Von wie vielen Parametern hängt deine Schar ab?

Ich würde an deiner Stelle versuchen, die Funktion $f_s$ mal direkt nicht-rekursiv aufzuschreiben, also:

f_s(x) = irgendwas von s und x abhängiges, wobei s der Schar-Parameter ist

Es ist glaube ich zum Teil offtopic und zum Teil hat es Zusammenhänge, die ich nicht ins Internet stellen möchte.

Naja, du hast ja damit angefangen...

titan99_

@wob Danke für die Antwort. Mir fehlen zum Teil die mathematischen Grundlagen um es rasch zu verstehen.

Kurvenschar

t_1: HWZ Halbwertszeit
t_2: Dauer zwischen (offtopic/******)

@wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

Und c?c_?c? ist ne Konstante?

Habe den verlinkten Funktionsplot vor einiger Zeit erstellt. c wird je Kurve mit 1 inkrementiert und fängt bei 1 an.

Kontrolliert ob auch alles stimmt ist es nicht. Also es ist theoretischer Natur. Es kann gut auch Fehler enthalten.

Edit:

@wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

Von wie vielen Parametern hängt deine Schar ab?

Hä?

@wob sagte in Einhüllende einer Kurvenschar berechnen:

Ich würde an deiner Stelle versuchen, die Funktion fsf_sfs mal direkt nicht-rekursiv aufzuschreiben, also:
f_s(x) = irgendwas von s und x abhängiges, wobei s der Schar-Parameter ist

Hä?

wob

Mir scheint, wir reden völlig aneinander vorbei. Ich habe mich in deinem letzten Post auch ständig "hä?" gefragt und habe deswegen all die Fragen gestellt.

Ich weiß immer noch nicht, wo deine Schar ist. Du hast $f_1$ und $f_2$ angegeben. Ich wollte u.a. auch herausfinden, wie $f_3$ , $f_4$ bzw. allgemein $f_s$ aussieht. Und welche Werte darf $s$ annehmen? Nur ganze Zahlen? Positive rationale Zahlen?

t_1: HWZ Halbwertszeit
t_2: Dauer zwischen (offtopic/******)

Also ist $t_1$ konstant? (oder haben wir es je nach Funktion aus der Schar mit unterschiedlich schnell bewegten Systemen zu tun und die HWZ wäre somit nicht konstant?) - und über $t_2$ weiß ich nichts. Ist das eine konstante Dauer? Oder hängt diese Dauer von der Funktion ab, also ist sie bei $f_3$ was anderes als bei $f_{42}$ ?

Wenn das $t_1$ aber eine Zeit ist, dann ist $x$ bei dir auch eine Zeit. Daher hatte ich am Anfang auch das, was du jetzt $x$ nennst, $t$ genannt.

Kurzum: vielleicht hat jemand anderes das Problem verstanden und kann aushelfen. Ich weiß nicht so recht, was du willst bzw. wo dein Problem ist bzw. wie deine Funktionsschar definiert ist.

titan99_

@wob Also $t_1$ und $t_2$ sind Konstanten. Ich bin mir nicht mehr sicher, ob das was ich suche genau der Definition einer Hüllkurve entspricht (Da die gesuchte Kurve die Kurven der Kurvenschar nicht tangential berührt).

Aber ich bin durch ausprobieren ein wenig weiter gekommen:

$f(x)=2-e^{-x\frac{ln(2)}{t_1}}$ berührt genau die Enden der Kurvenschar (ich finde es zumindest plausibel, da es dies visuell bei verschiedenen Werten für $t_1$ und $t_2$ tut), wenn $t_1=t_2$ .

Funktionsplot

Funktionsplot mit grössere Kurvenschar und einer Näherung der Kurve für die Maximalwerte.

PanaMonic

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