5^x-3^x=16

[idefix]

Wie kann man die Gleichung 5^x - 3^x = 16 lösen?

x=2 , kann man erkennen. Aber wie kann man die Gleichung auflösen?

[Quiche Lorraine]

@idefix

Wie kann man die Gleichung 5^x - 3^x = 16 lösen?
x=2 , kann man erkennen. Aber wie kann man die Gleichung auflösen?

Ich fürchte von Hand geht da nichts.

Aber einen kleinen Trick gibt es. Die 3 4 5 Regel (bzw. Satz des Pythagoras) besagt:

3^2 + 4^2 = 5^2 <->
3^2 + 16 = 5^2 <->
es exist. ein x s.d. 3^x + 16 = 5^x <->
es exist. ein x s.d. 5^x -3^x = 16

Ferner erinnert mich die Gleichung an den großen fermatschen Satz.

[wob]

@Quiche-Lorraine Spannend. Ich habe von einer 3-4-5-Regel noch nie etwas gehört. Ich kenne 3-4-5 aber sehr wohl als "pythagoreisches Tripel". Was sagt die 3-4-5-Regel denn genau? Ein erstes googles hat nichts vernünfiges Ergeben (sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, aber das gilt ja für alle pyth. Tripel - daher ergibt es ja wenig Sinn, für genau eines davon eine Regel aufzustellen, die auf für alle anderen Tripel gelten würde).

x=2 ist hier eine offensichtliche Lösung, wie schon geschrieben. Ansonsten kann man noch leicht nachweisen, dass es keine weiteren Lösungen gibt (zumindest nicht in $\mathbb R$, vielleicht geht da was in $\mathbb C$, keine Ahnung). Aber es gibt keine direkte Formel, die für den allgemeinen Fall einer Gleichung $a^x + b^x +c = 0$ funktioniert.

[hustbaer]

@wob

Aber es gibt keine direkte Formel, die für den allgemeinen Fall einer Gleichung $a^x + b^x +c = 0$ funktioniert.

OK. Aber kann man die Gleichung exakt lösen ohne ausprobieren? Bzw. kann man $5^x - 3^x = 17$ oder $7^x - 3^x = 16$ exakt lösen? Wolfram Alpha scheint es nicht zu können.

[Quiche Lorraine]

@wob sagte:

daher ergibt es ja wenig Sinn, für genau eines davon eine Regel aufzustellen, die auf für alle anderen Tripel gelten würde).

Die 3-4-5 Regel ist eine praktische Anwendung des pythagoreisches Tripels. Wenn du beispielsweise einen rechten Winkel auf einem Rasen abstecken möchtest, um beispielsweise eine Grube für den geplanten Swimming-Pool auszuheben, so kannst du eine 12m lange Richtschnur nehmen, 3 Nägel in den entsprechenden 3-4-5 Abständen hineinknoten und du bekommst einen schönen rechten Winkel. (siehe auch Wiki Zwölfknotenschnur)

[*john 0]

@hustbaer sagte in 5^x-3x=16:

OK. Aber kann man die Gleichung exakt lösen ohne ausprobieren? Bzw. kann man $5^x - 3^x = 17$ oder $7^x - 3^x = 16$ exakt lösen? Wolfram Alpha scheint es nicht zu können.

Nein, das Problem ist hier, dass man die beiden Monome mit X zusammenfassen kann. Stünde da $a^x\cdot b^x = 16$, wäre das kein Problem, da $a^x \cdot b^x=(a\cdot b)^x$. So kann man zwar den Logarithmus nehmen, aber $5^x-3^x=16$ lässt sich zu $5^x =3^x +16$ umstellen, und dann der Logarithmus ziehen. Das gibt dann $x = log_5(3^x +16)$, und da kommt dann eigentlich nicht weiter. Was man für eine Näherung machen könnte ist es den rechten Term Taylor zu entwickeln.

[aleph]

Du kannst eine Kurvendiskussion durchführen, um zu zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt, die du kennst.