4. Mathe, Stochastik, zwei Spieler spielen wiederholt eine Runde

Mathe, Stochastik, zwei Spieler spielen wiederholt eine Runde

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    @SeppJ sagte in Mathe, Stochastik, zwei Spieler spielen wiederholt eine Runde:

    2 + 2 = 4 leite ich mir ja auch nicht ständig neu aus den Peano Axiomen her.

    *kopfkratz* vielleicht nicht du... 😉

    ChatGPT: Die Peano-Axiome, benannt nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano, sind eine Sammlung von Axiomen für die natürlichen Zahlen ℕ und bilden eine Grundlage für die Arithmetik. Diese Axiome sind:

    1. Null ist eine natürliche Zahl.

      • formal: (0 \in ℕ)

    2. Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger, der auch eine natürliche Zahl ist.

      • formal: (\forall n \in ℕ, S(n) \in ℕ)
      • Hierbei ist (S(n)) der Nachfolger von (n).

    3. Null ist nicht der Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.

      • formal: (\forall n \in ℕ, S(n) \neq 0)

    4. Verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger.

      • formal: (\forall m, n \in ℕ, m \neq n \Rightarrow S(m) \neq S(n))

    5. (Induktionsaxiom) Eigenschaft (P) gilt für alle natürlichen Zahlen, wenn sie für (0) gilt und wenn gilt: sofern (P(k)) für eine natürliche Zahl (k) gilt, dann gilt auch (P(S(k))).

      • formal: (P(0) \land (\forall k \in ℕ, P(k) \Rightarrow P(S(k))) \Rightarrow \forall n \in ℕ, P(n))

    Mit diesen Axiomen lässt sich das Rechnen mit natürlichen Zahlen und insbesondere die Addition formalisieren. Hier leiten wir (2 + 2 = 4) her.

    1. Definition von 1, 2, 3, 4:

    • (1 = S(0))
    • (2 = S(1))
    • (3 = S(2))
    • (4 = S(3))

    2. Definition der Addition:

    • Addition wird durch:
      • Basisfall: (a + 0 = a)
      • Induktionsfall: (a + S(b) = S(a + b))
        definiert.

    3. Herleitung von (2 + 2 = 4):

    1. Schritt: Berechne (2 + 0):
      [
      2 + 0 = 2
      ]
      (nach der Definition der Addition, Basisfall)

    2. Schritt: Berechne (2 + S(0)):
      [
      2 + S(0) = S(2 + 0) = S(2) = 3
      ]
      (nach der Definition der Addition, Induktionsfall, und der Definition von (3))

    3. Schritt: Berechne (2 + S(1)):
      [
      2 + S(1) = S(2 + 1) = S(3) = 4
      ]
      (nach der Definition der Addition, Induktionsfall, und der Definition von (4))

    4. Schritt: Berechne (2 + 2):
      [
      2 + 2 = 2 + S(1) = 4
      ]

    Damit haben wir gezeigt, dass (2 + 2 = 4) unter Verwendung der Peano-Axiome.

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