Variablen-Elimination

[biter]

Hallo zusammen, ein mathematisches Problem:
Folgendes Gleichungssystem:

$z = s^2*e^{st}$
$y = s*e^{-t}$
$x = e^t$

Ich möchte nun die Variablen s ,t eliminieren, und die Gleichung nach z auflösen.
Die Lösung ist:

$z = x^2 * y^2*x^{xy}$

Welches Verfahren, kann man da anwenden ?
Weiss jemand Rat ?

[wob]

Wie wärs damit, die 2. Gleichung mit $e^t$ zu multiplizieren?

Dann einsetzen:

$z =(y e^{t})^2 e^{(y e^t)t}$

Und laut 3 (immer versuchen, irgendwo den Ausdruck $e^t$ hinzubekommen und zu ersetzen):
$z =(y x)^2 e^{(y x)t} = (y x)^2 e^{t y x} = (y x)^2 (e^t)^{y x} = y^2 x^2 x^{yx}$

[Schlangenmensch]

@wob war schneller und die Lösung ist schöner, als meine.
Ich habe $y = s*e^{-t}$ nach s aufgelöst und in die Gleichung 1 eingesetzt und
$x = e^{t}$ über den natürlichen Logarithmus nach t aufgelöst und dann ln(x) für t in die, nach Einsetzen für s, entstandene Gleichung eingesetzt. Nach Auflösen der Regeln für $e$ und $ln$ kommt man damit auf dasselbe Ergebnis.

Verfahren: Nach Variable Auflösen, Einsetzen und Vereinfachen. Oder auch "scharf hinsehen"

[biter]

Zu blöd, hätte ich auch sehen müssen, dachte da wäre ein spezielles Verfahren nötig. Danke Euch !!!

[wob]

@biter sagte in Variablen-Elimination:

Zu blöd, hätte ich auch sehen müssen, dachte da wäre ein spezielles Verfahren nötig. Danke Euch !!!

Wie mein Mathe-Prof immer zu sagen pflegte:

Beweis: einfach ausrechnen. $\square$

[*john 0]

Das wohl schnellste Vorgehen ist:
3. Gleichung $x=e^t$ in Gleichung 2 einsetzen. Ergibt $y=sx^{-1}$ nach $s$ auflösen $s=xy$ und dann diese Gleichungen in 1. Gleichung einsetzen.

$z=(xy)^2 \left(e^t \right)^s=x^2 y^2 (x)^s=x^2y^2 x^{xy}$

Man muss dazu nur die Potenzgesetze korrekt wissen.

[biter]

Eigentlich eine triviale Sache, nachdem es kein lineares Gleichungssystem ist, dachte ich, dass es da ein spezielles Verfahren bräuchte. Habe da ab er noch nie etwas gelesen. Einsetzung ist natürlich universell. Manchmal stolpert man eben auch über einfache Dinge. Danke Euch !!!