Kurze mathematische Frage
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'n Abend!
Ich bin gerade auf ein Summenzeichen und ein Integralzeichen gestoßen, die mich etwas verwirren.
Es steht darunter nur ein i, bzw. ein A. Bedeutet das einfach, dass alle vorhandenen Werte sozusagen zusammengerechnet werden? Also praktisch eine verkürzte Form von "Summe von i=anfang bis ende"? Diese Darstellung ist mir nicht so geläufig.Und dann fällt mir nochwas ein, was ich des öfteren mal im Tipler entdecke, mich aber noch nie weiter mit beschäftigt habe:
Da ist manchmal ein Integralzeichen mit einem kleinen Kreis in der Mitte. Wofür steht das?
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Jan schrieb:
Ich bin gerade auf ein Summenzeichen und ein Integralzeichen gestoßen, die mich etwas verwirren.
Es steht darunter nur ein iWenn z.B. i \in {1,... n} ist, steht sum_i für sum_{i=1}^n.
Jan schrieb:
ein Integralzeichen mit einem kleinen Kreis in der Mitte. Wofür steht das?
Integral über eine geschlossene Kurve (Umlaufintegral)
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Das lezte ist ein sogenanntes "Ringintegral"
Wir (HTL) verwenden es zur Darstellung von Kreisprozessen in der Thermodynamik.
mfG
Tippo
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Deine Interpretation bzgl. Integral und Summe ist richtig, meistens gibt es da noch irgendeine zusätzliche Angabe für den Definitionsbereich der Laufvariable, z.B. n elem |R oder n > 5, oder eine Menge.
Das Integral mit dem Kreis ist ein sogenanntes "Umlaufintegral", Physiker und vor allem Etechniker lieben das.
Das benutzt man bei Integralen über Vektorfelder, anschauliche Beispiele findest Du wohl nur in der Physik.
Nimm ein elektrisches Feld, Du weißt ja, die Spannungsdifferenz eines geladenen Teilchens ergibt sich nach U = E * d.
Jetzt ist im allgemeinen Fall E eine Vektorfunktion von (x,y,z), d.h. an jedem Ort x,y,z gibt's einen Feldvektor (der die Richtung des Feldes hat).
Der Weg ist ebenfalls ein Vektor (x,y,z).
Die Spannung ergibt sich nun für den allgemeinen Fall zu
[ U = Int E(x,y,z) ds(x,y,z) ]Sowas geht, da E ds da ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist - also summiert man mit dem Integral einfach Zahlen auf, insgesamt ergibt sich die Potentialdifferenz.
Nun mußt Du aufpassen - es gibt da so eine Aussage, wenn sich ein Teilchen im E-Feld bewegt und wieder an die gleiche Stelle zurückkehrt, so ist seine Potentialdifferenz 0 - hat also keine Energieänderung. Und zwar gilt dies unabhängig vom Weg.
Wie formuliert man dieses Gesetz nun mathematisch: mit Hilfe von Deinem o-Integral, da der o einen geschlossen Pfad durch das Vektorfeld symbolisiert.
Ergo:
[ oInt E(x,y,z) ds(x,y,z) = 0 ]
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\aleph_0 schrieb:
Wenn z.B. i \in {1,... n} ist, steht sum_i für sum_{i=1}^n.
Wenn du mir das jetzt nochmal auf Deutsch erklärst, dann bin ich glücklich!
Meinst du mit {i=1}^n soviel wie "von 1 bis n"??
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Jan schrieb:
Meinst du mit {i=1}^n soviel wie "von 1 bis n"??
Ja, das ist LaTeX: Alles in _{} steht unter dem Summenzeichen \sum, alles in ^{} steht darüber. Wenn in den {} nur ein Zeichen steht, kann man sie auch weglassen.
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Jan: Das ist Latex-Notation
x_y heißt x mit tiefgestelltem y
x^y heißt analog hochgestellt, d.h.\sum_{i=1}^n heißt Summenzeichen mit i=1 untendrunter und n drüber
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Ja, sorry, dass ich nochmal so dumm gefragt hab, aber LaTex war mir bisher immer relativ latex und wird es wohl auch bleiben...
edit:
Auf jeden Fall erstmal danke euch allen! Das ging mal wieder wunderbar fix, so wie man es hier gewohnt ist!