3. Ausnahmsweise mal ein Rätsel

Ausnahmsweise mal ein Rätsel

  • F

    Ein Zwerg sitzt am Anfang eines 1000 m langen Gummibandes. Jeden Tag kommt er einen Meter voran. Nachts, wenn er ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmäßig so aus, daß es 1000 m länger wird. Der Dämon und der Zwerg seien unsterblich und das Band unbegrenzt dehnbar (also keine Spitzfindigkeiten 😃 ).
    Erreicht dann der Zwerg jemals das Ende des Bandes? Natürlich ist ein Beweis gefragt.

    Falls irgendwer das Rätsel kennt, möge er sich zurückhalten 😉

    (Ich hoffe, daß dieses Rätsel nicht zum x-ten Mal gepostet wird 😕)

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  • H

    Hi !

    Mh, wenn der Zwerg Dauerschicht schiebt und nicht schläft sollte es leicht zu schaffen sein... oder der Dämon umrundet einmal die Erde und steht auf einmal hinter dem Zwerg?

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  • F

    Headhunter schrieb:

    Hi !

    Mh, wenn der Zwerg Dauerschicht schiebt und nicht schläft sollte es leicht zu schaffen sein...

    Hmm, der Zwerg leidet aber an der sehr seltenen Schlafkrankheit, die auch vorzugsweise Studenten befällt...

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  • C

    Hi,

    natürlich nicht. Damit der Zwerg zum Ziel kommen könnte, müsste er den kritischen Punkt überwinden, an dem die Ausdehnung der vor ihm liegenden Strecke < 1m ist. Damit er aber die erreicht, müsste er selbst näher als einen Meter am Ziel stehen, was er ja nicht schaffen kann, da sich die Strecke vor ihm immer verlängert, da er die kritischen Punkt nicht überwunden hat.

    ChrisM

    PS: Das mit der Erdumrundung ist gut 😃

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  • F

    @ChrisM:
    Um nichts zu verraten sage ich nur: Die Begründung ist auf jeden Fall falsch...

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  • N

    Headhunter schrieb:

    ... der Dämon umrundet einmal die Erde ...

    Ist doch ein guter Ansatz. Wenn wir davon ausgehen, das Zwerg und Dämon sich auf dem Planeten Erde in exakt entgegengesetzte Richtung bewegen, müssten sie doch wohl nach ca. 39960 Tagen bzw. im Laufe des 39961. Tages wieder aufeinandertreffen, also der Zwerg das andere Ende des Bandes erreichen. Oder so ähnlich ...

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  • F

    Wo steht denn was von der Erde? Wir befinden uns in den unendlichen Weiten des Universums 😉

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  • N

    Dann wäre zumindest interessant zu wissen, wer sich in welche Richtung bewegt und wer wo mit einem Bandende verbunden ist oder auch nicht. Sonst ist's nur Stochern im Nebel ...

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  • F

    Der Zwerg sitzt am Anfang des Bandes und will zum Ende (weil da ??? auf ihn wartet); der Dämon dehnt das Band gleichmäßig aus (d.h. er schnappt sich beide Enden und zieht bis das Band 1000 m länger ist).
    Also eigentlich ist alles klar!
    Ihr müßt halt mathematisch an die Sache rangehen...

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  • F

    Vielleicht mal zur Verdeutlichung:
    Am Ende des ersten Tages hat der Zwerg eine Strecke von 1 m zurückgelegt. In der Nacht kommt der böse Dämon und dehnt das Band um 1000 m
    => Länge des Bandes 2000 m, Länge der von dem Zwerg zurückgelegten Strecke 2 m (da das Band gleichmäßig gedehnt wird)...

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  • J

    Hallo!

    Ich hab ne Idee. Ist noch keine Lösung, aber man sicher was draus machen:

    Ich definier mir erstmal ein paar Symbole:

    Zum Beispiel die Gesamtlänge des Gummibandes:g(k) = k*1000, wobei k der Tag ist:

    1.Tag => 1000m 2. Tag 2000m etc.

    Jetzt stellen wir noch eine Folge für den restlichen zurückzulegenden Wert auf:

    r(k), wobei ich immer das Ende des Tages zähle, der Zwerg ist also schon gegangen. Das heißt, wenn wir das auf 0 kriegen isses gelaufen!
    Oder aber wir zeigen, daß es immer größer 0 sein muß, dann schafft der Zwerg es nicht.

    r(1) = 999, klar, der Zwerg hat einen Meter geschafft und macht jetzt der Pause, der Dämon ist am Zug:

    und jetzt hab ich für r(k+1) momentan leider nur ne Rekursionsformel anzubieten:

    neuer Restweg = alter Restweg        Anteil von Rest an Gesamt dehnt sich glm.   Zwerg läuft
r(k+1)        =     r(k)       +              r(k)/g(k)        *1000           - 1

    Da sich das Gummiband gleichmäßig dehnt dehnt sich der Rest, den er zu laufen hat immer weniger.

    Jetzt g(k) einsetzen

    => r(k+1) = r(k)+r(k)/k - 1

    So, vielleicht fällt dazu ja jemand was schlaues ein... vielleicht irgendeine Induktion, bin aber grad nicht sehr weit gekommen.

    MfG Jester

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  • F

    @Jester:
    Der Ansatz ist schon sehr gut! 👍
    Aber anstatt über Induktion zu gehen, versuche doch mal die rekursive in eine explizite Darstellung umzurechnen.
    (Womit ich nicht sagen will, daß es mit vollst. Induktion nicht geht)

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  • P

    na mal sehen.
    stand nach dem ersten zyklus:
    der zwerg ist bei 2 = 1* 2/1 von 2000 metern.
    stand nach dem zwoten zyklus:
    der zwerg ist bei 4.5 = (2+1)*3/2 von 3000 metern.
    stand nach dem dritten zyklus:
    der zwerg ist bei 7.33 = (4.5+1)*4/3 von 4000 metern.

    also erst bei 0.1% der strecke
    dann bei 0.15% der strecke
    dann bei 0.1833% der strecke.

    sei si der zurueckgelegte weg nach i zyklen.
    also s0=0, s1=2, s2=4.5, s3=7.33

    allgemein s(i+1) = (si+1)*(i+1)/i = (i+1)sum_{k=1}^i1/k,
    der nach dem i ten zyklus zurueckgelegte anteil ist ai = si/(i+1)/1000 = 0.001    sum_{k=1}^i1/k

    und da die harmonische reihe divergent ist, wird der zwerg siegen.

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  • J

    Jo hab ich grad gemacht:

    r(k+1)  = Prod[m=1..k] (1+1/m) * r1 >= Prod[m=1..k](1+1/k) * r1 = (1+1/k)^k * r1 -->e*r1

    Also im Grenzwert schafft er's nicht, hätt er's vorher mal geschafft, so wäre das Gummiband nur noch nach hinten gewachsen und der Abstand hätte nie mehr positiv werden können. Also auch nicht Grentwert positiv. Also kann er das Ende nicht erreichen.

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  • J

    @PeterTheMaster: Einer von uns beiden täuscht sich wohl

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  • F

    @PeterTheMaster:
    Jo, genau! Das ging ja fix.
    Und noch als allerletzte Frage: Nach wieviel Tagen kommt er an?

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  • P

    hehe, cool. hab jetzt keine lust zum fehler suchen. vielleicht sagt fubar ja, wer recht hat.

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  • J

    Hm, kann irgendwie keinen Fehler finden... sieht jemand was?
    Und für den letzten Aufgabenteil könnte ja mal jemand ein kleines Programm schreiben 😉
    Hab grad selber keine Lust zu...

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  • P

    also so ein programm selber zu schreiben duerfte wohl einigen aufwand bedeuten.

    nach 10^434 sind es 99.99%, nach 10^435 sind es 100.22%.
    das habe ich durch trial and error rausgefunden und genauer interessiert mich das nicht. wie loest man das geschlossen?
    aha, 10^435/9 ist bei 5 stellen genauigkeit 100.00. so, jetzt ist aber schluss.

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  • F
     

    r(k+1)  = Prod[m=1..k] (1+1/m) * r1 >= Prod[m=1..k](1+1/k) * r1 = (1+1/k)^k * r1 -->e*r1

    Da r1=999: r1*e>1000, oder sehe ich das jetzt falsch?

    Das mit dem Programm dürfte ohne größeren Aufwand nicht möglich sein, da 1/k doch sehr schnell sehr klein wird und unter die Machinengenauigkeit fällt.

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  • P

    aber seine r sind ja der rest. sollte also gegen null gehen oder negativ werden. irgendwo zwischendrin ist ein fehler.

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